Республика Саха (Якутия)

Открытое занятие

по алгебре и началам анализа

в 11 А классе

(социально-экономический профиль)

Тема: «Функциональный метод решения

комбинированных уравнений»

(урок-консультация)

Учитель: Бракк Елена Михайловна

СОШ №1

г. Нерюнгри - 2011 г.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков по теме «Решение комбинированных уравнений»

Цели:

1. Обучающая: закрепить и углубить знания, умения и навыки учащихся по решению нестандартных комбинированных уравнений, используя свойства ограниченности функций и свойства монотонности функций.

2. Развивающая: развивать творческие способности учащихся, позновательный интерес к предмету; развивать исследовательские способности: умение анализировать, сравнивать, сопоставлять и обобщать.

3. Воспитательная: воспитывать чувство взаимопомощи, ответственности за полученный результат, упорство и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока:

1. Таблица «Опорные неравенства»;

2. Раздаточный материал для домашнего задания;

3. Раздаточный материал для дифференцированной работы в группах.

4. Оценочные листы деятельности учащихся в группах;

5. Таблица «Решение комбинированного уравнения графическим методом»

Подготовительный этап

За неделю до урока ученикам даются теоретические вопросы и письменное домашнее задание.

Вопросы теории:

1. Сформулировать теорему об использовании ограниченности функции к решению комбинированных уравнений;

2. Сформулировать теорему об использовании свойства монотонности функции к решению комбинированных уравнений;

3. Указать область значений следующих функций:

y = sinx; y = cosx;

y = arc sinx y = arc cosx

y = arc tgx y = arc ctgx

y = |f(x)|

, где

, если а>0 , если а<0

y = a sinx+b cosx

Домашние задания на открытый урок

Решить уравнения:

Учащиеся класса делятся на четыре группы (по 6 – 7 человек в группе), выбираются консультанты в каждой группе из числа тех, кто занимается на «4» и «5». Во внеурочное время консультанты устно отвечают учителю на теоретические вопросы и показывают ему решение домашних уравнений. При необходимости консультанты получают у учителя консультацию по решению или оформлению задач повышенного уровня сложности. На уроке консультанты выступают в роли учителя: спрашивают, проверяют и оценивают ответы и решения учащихся, заполняют оценочные листы. Работа групп проходит под наблюдением учителя

Ход урока

Этап 1 Организационный момент.

Учитель: Одним из эффективных методов решения уравнений является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с чётной степенью и т. д. Вспомним наиболее распространённые неравенства ( на доске – таблица опорных неравенств):

─1sin x1 ─1cos x1

–π /2arc sinπ /2 0arc cosπ

–π /2<arc tg<π /2 0<arc ctg<π

|f(x)|0; ; ;

где

если a > 0; равенство достигается при а =1.

если a < 0; равенство достигается при а = –1.

при равенство достигается при a=b.

Этап 2 Актуализация знаний учащихся.

1. Кратко обсуждаются способы и приёмы, с помощью которых решались уравнения из домашнего задания. Ребята задают вопросы учителю по заданиям более высокого уровня сложности (№6 - №7). Эти задания обсуждаются более подробно у доски теми учащимися, которые с этими заданиями справились.

Пример №6

Решение:

x>0

x>0

Рассмотрим функции

и .

Оценим значения функции f(x). Поскольку х и - взаимно-обратные величины и x > 0, то ; .

В силу возрастания функции на множестве положительных чисел получим , т.е. .

Итак, .

Оценим значения функции g(x).

. Итак, .

Т.к. , а при то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе f(x)=2

g(x)=2

x > 0 x > 0

x=1

x>0

x > 0

Ответ: х=1.

Пример №7 Решить уравнение

Решение:

Рассмотрим функции и .

Оценим значения функций.

Итак,

Итак, .

Т.к.а , то равенство f(x)=g(x) может быть только в том случае, когда обе части уравнения равны единице, т.е.

.

Из второго уравнения системы получаем, что

или

или

Т.е. , .

Подставим значения в первое уравнение системы:

;

;

; (истинно).

Отсюда следует, что решением системы уравнений являются числа

Ответ: .

В то время, когда двое учащихся решают у доски уравнения №6 и №7 из домашнего задания, с остальными учащимися проводится «Разминка» (устные упражнения).

Найти область значений следующих функций:

Ответы:

1. f(x) = 2+|x|;

2. f(x) = 3sin²x; E(f) = [0;3]

3. f(x) = (4x-3)²+7;

4. ;

5. f(x) = tg²x+ctg²,

где ;

е) f(x) = 3sin2x – 4cos2x; E(f) = [-5;5]

ж) ;

з) ; E(f) = (0;1]

Этап 3 Дифференцированная самостоятельная работа в группах.

Группы получают по семь карточек, на каждой из которых записано одно из комбинированных уравнений разного уровня сложности. Учащиеся сами выбирают уровень сложности задания (всего их 3).

Карточки синего цвета – с заданиями продвинутого уровня более простого вида. Их правильное решение гарантирует ученику оценку «3».

На карточках зеленого цвета – задания продвинутого уровня более сложного вида, их правильное решение гарантирует ученику оценку «4».

На карточках красного цвета – задания повышенного уровня сложности, их правильное решение гарантирует ученику оценку «5».

Синяя карточка №1

Решить уравнение .

Синяя карточка №2

Решить уравнение .

Синяя карточка №3

Решить уравнение

Зелёная карточка №4

Решить уравнение

Зелёная карточка №5

Решить уравнение .

Красная карточка №6

Решить уравнение

Красная карточка №7

Решить уравнение .

Ответы по самостоятельной работе заранее заготовлены на обратной стороне доски:

№1. x =2;

№2 х = –3;

№3 х = –1,2;

№4 х = 1,5;

№5 х = 0,25;

№6 х = 2;

№7 х = 1.

Этап 4 Устные упражнения на применение свойства возрастания (убывания) функции к решению комбинированных уравнений.

Учитель: В задании будут даны две функции, несовместимые для непосредственного аналитического решения. Необходимо будет провести нестандартные логические рассуждения для решения уравнения f(x) = g(x). В ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций y = f(x) и y = g(x).

Ученики формулируют теорему:

Если функция y = f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a;b], а функция y = g(x) непрерывна и убывает на этом же отрезке, то уравнение f(x) = g(x) на отрезке [a;b] может иметь не более одного корня.

Учитель: Поэтому при решении уравнения f(x) = g(x) необходимо исследовать функции y = f(x) и y = g(x) на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке [a;b] убывает, а другая функция возрастает, попытаться отбором найти единственный корень уравнения или показать, что такого корня не существует.

Пример 1 Решить уравнение

Решение:

Общая часть областей существования функций и есть промежуток [-7;+∞). На этом промежутке функция f(x) убывает, а функция g(x) возрастает. Следовательно, исходное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х= -2

Ответ: х= -2.

Пример 2 Решить уравнение

Ответ: не имеет корней.

Примечание:

Это хорошо видно на таблице, где построены графики функций и .

Этап 5 Рефлексия деятельности групп (отчёт консультантов).

Оценочный лист учащихся группы

Консультант: _____________

Этап 6 Домашнее задание.

Решить уравнения:

4*.