В вашем браузере отключен JavaScript. Из-за этого многие элементы сайта не будут работать. Как включить JavaScript?

Тотальная распродажа: скидки до 60% на любые программы, курсы, вебинары. Только 18-19 февраля! Подробнее

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения

Елена Шкромада
Тип материала: другое
Рейтинг: 123 голосов:4просмотров: 5920 комментариев: 2
Краткое описание
Учебно-методическое пособие "Формулы сокращённого умножения" содержит задания для работы на уроке и дома учениками 7 класса по программе алгебры и является дополнением к учебнику "Алгебра 7".
Описание
Учебно-методическое пособие «Формулы сокращённого умножения» содержит задания для работы на уроке и дома учениками 7 класса по программе алгебры и является дополнением к учебнику «Алгебра 7».С переходом на новые образовательные стандарты поможет лучшему усвоению трудной темы, так как содержит задания для заучивания формул, на внимание, обдумывание, применение при упрощении и решении уравнений, а также контрольные задания трёх уровней сложности с ответами.Пособие предназначено для школьников, учителей-математики, а также родителей, желающих подтянуть или укрепить умения и навыки детей по применению формул сокращённого умножения.

Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары, курсы повышения квалификации, профессиональная переподготовка и профессиональное обучение. Низкие цены. Более 9800 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.

Файлы
учебное пособие.docx
HTML Войдите для скачивания файлов

C:\Users\7777\Desktop\uchmet_120_60.gif УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по алгебре 7 класса

(Дополнение к учебнику для основной школы авторов

Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин)



f_6746.jpg

«Формулы сокращённого умножения»





автор: Шкромада Елена Алексеевна

учитель математики ГБОУ СОШ №548

г.Санкт-Петербурга





2013



Предисловие

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть, что вызывает у школьников немалые проблемы при заучивании и применении их в алгебраических преобразованиях. Учебное пособие содержит задания для заучивания формул и применения при упрощении выражений, решении уравнений и другие задания на внимание, обдумывание и применение. Для каждой формулы подобраны контрольные задания трёх уровней: простые, среднего уровня и повышенного для подготовленных детей, а также ответы к ним.

Пособие предназначено для семиклассников, учителей-предметников для работы на уроке и родителей, желающих подтянуть или укрепить знания ребят по теме «Формулы сокращённого умножения».



























Содержание

Глава 1. Разность квадратов.

1.1.Упражнения для памяти 4

1.2.Задания для закрепления 5

1.3.Контрольные задания 7

Глава 2. Квадрат суммы (разности).

2.1.Упражнения для памяти 8

2.2.Задания для закрепления 9

2.3.Контрольные задания 12

Глава 3. Сумма (разность) кубов.

3.1.Упражнения для памяти 13

3.2.Задания для закрепления 14

3.3.Контрольные задания 16

Глава 4. Куб суммы (разности).

4.1.Упражнения для памяти 17

4.2.Задания для закрепления 17

4.3.Контрольные задания 18

Глава 5. Совместное применение формул сокращённого умножения

5.1. Упражнения обязательного уровня усвоения 19

5.2. Упражнения повышенного уровня 22











Глава 1. Разность квадратов а2b2 = (ab)(a + b)

1.1.Упражнения для памяти

1.1.1.Заполнить пропуски: отметка о выполнении

верно неверно не приступил

a2 - b2 = (ab)(a + b)

a2 – b2 = (a – b)(a…b)

a2…b2 = (a – b)(a + b)

m2 - n2 = (m + n)(m…n)

k2 – 4 = (…-2)(…+2)

x2 – 9 =(x -…)(x +…)

25 – 4a2 = (…-…)(…+…)

49/100 – b2= (… - b)(… + b)

1/16x2 – 4y2 = (… -… )(… + … )

(f – 3)(f + 3) = ….- 9

(2a – b )(2a + b) = …. – b2

(x – 3y)(x + 3y) = x2 - …

(7 - 2t)(7 + 2t) = 49 - …

(1/2 + h)(1/2 – h) = … - …

(3/5 – ab)(3/5 + ab) = … - a b

(10 x – 3y)( 10x + 3y) = … - 9y

(x2 – a2)(x2 + a2) = x - a

(0,3c3 – 2 b3)(0,3c3 + 2b3) = … - 4…

(4f2b + c)(4f2b – c) = … - c2

9х2 – 1/16 y6 =(…x - .. .y)(…x + .. .y)

1.1.2. Найди ошибку Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(5х –b)(5x +b) = 25x - b

9a2b2 = (9a - b)(9a + b)

(1/4 +c)(1/4 – c) = 1/8 – c2

(0,8x2 - y)(0,8x2 + y) = 0,64 x2 – y2

100a2 – b4 = (10 a2 + b2)(10a2 – b2)

1.2. Задания для закрепления

1.2.1.Упростите выражение:

а) (a - 2b)(a + 2b) – (a – b)(a +b)

Решение:





Ответ:

б) x2 + (0,2 – x)(0,2 + x)

Решение:



Ответ:

1.2.2. Решите уравнение, применив формулу разности квадратов

а) (x – 5)(x + 5) = x2 – 5x

Решение:

Ответ:

б) (x-7)2 – 9 = x – 4

Решение:





Ответ:

1.2.3. Представить в виде многочлена Ответ

1).(c4-d2)(d2 +c4)
2).(0,2a-b3)(b3 +0,2a)
3).(2x5-3y2)(2x5 +3y2)
4).(0,6x +0,7y3)(0,7y3-0,6x)
5).(m4-n7)(n7 +m4)

6).(1,2c2 +3d)(1,2c2-3d)
7).(5x2-0,4y2)(0,4y2+5x2)
8).(8z6-5y3)(8z6 +5y3)
9).(0,2m2 +0,3y5)(0,3y5-0,2m2)
10).(1,3x2-d)(d +1,3x2)

1.2.4. Применение формул для упрощения расчётов

672 - 572 =

662 - 342 =

73х67 =

105х95=





1.3. Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Разложить на множители:

1) х2 – 4 1) х2 – 100y2 1) 0,25a2 – 0.09b2

2)1/16 a2 – 9 2) 4/9 a2 - b4 2) x6 – y2

Применив формулу разности квадратов, вычислить:

3) 43х57 3) 94х106 3) 86х94

Найти значение выражения, применив формулу разности квадратов:

4) 252 – 242 4) 42 + 32 4) 275 – 176

52 + 24 132 - 122 625 – 256

Решить уравнение:

5) 16х2 – х3 = 0 5) 1/25x – 0,04x3 = 0 5) (х – 1)(х + 1) – х(х – 3 ) =

2(x-1)



Ответы к контрольным заданиям:

Безымянный.png 83558906_69490733_03.png











Глава 2. Квадрат суммы(разности) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(ab)2 = a2 – 2ab + b2

2.1. Упражнения для памяти

2.1.1. Заполнить пропуски: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(a + b)2 = a2 …2abb2

(ab)2 = a2 -…. + b2

(2 + x)2 = … + 4x + x2

(3 – x )2 = 9 - …. + x2

(2а – 3в2)2 = 4а2 – 12ав2 + …

 2 – 12а + 4 = (….- 2)2

2 + 12х2у + 9х4 = (2y …. )2

0,04x2 – 0,4x +1 = (….. – 1)2

16/100c2 +… cb + b2 = (…. c + b)2

.a2 - …. ab +1/4b2 = (1/3a -…. b)2

(15a + …)2 = 225a2 + 12ac3 + 0, 16c6

(3a + 2, 5b)2 = 9a2 + 6, 25b2 + …

(… - 2a)2 = … - 12ab + …

(3x + …)2 = … +... + 49z2

(… + 2b)2 = a2 + 4ab + 4b2

(3x - …)2 = 9x2 - 6ax + a2

(… + 2a)2 = 100 + 40a + 4a2

(… + 9c)2 = 36a+ 108a2c + 81c2

1/9a6 -… a3b2+1/4b4 = (1/3… - 1/2b)2



2.1.2. Найди ошибку: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(2а – 3в2)2 = 4а2 – 6ав2 + 9в4

(2а – 3)2 = 4a2 + 12a – 9

(х + 3у)2 = х2 + 9у2 - 6ху

a2 – 9aca + 6c2 = (a – 3c)2

m4+6m2+36 = ( m2 + 6)2

2.2. Задания для закрепления

2.2.1.Упростите выражение, используя формулы квадрата суммы (разности) чисел:

а) (4х + 1)2 – (4х – 1)2 

Решение:







Ответ:

б)Упростите выражение, используя формулу квадрата разности:

Решение: (4х + 1)2 – (4х – 1)2 = ( ( )-( ))(( )+( ))=

( )( )=

Ответ:

в)Докажите, что значение выражения не зависит от m

(m + 5)2 – (m + 3)(m + 7)

Решение:

2.2.2. Решите уравнение:

a) 25x2 + 20x + 4 = 0

Решение:





Ответ:

б) 4a2 - 2a+1 =0

Решение:





Ответ:

в) (x – 1)(x + 1) – (x - 2)2 =0

Решение:





Ответ:

2.2.3. Представить в виде многочлена: Ответ

а) (2a – b)2

б) (0,1x + 2y)2

в) (1/3c + k)2

г) (a2 – 0,5b)2

д) (0,3x3 + 0,5y2)2

е) (7a4 – 0,2b3)2

ж)(0,1x-0,9)(0,1x+0,9) – (0,1x – 0,9)2



2.2.4.Вычислите, используя формулы сокращенного умножения :

Пример : 312=(30 + 1)2 = 302 + 2x30x1 + 12 = 900 + 60 + 1 = 961

522 =

992 =

3202 =

73х67 – 512=

(672 – 572) – 262 =

































2.3. Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Разложить на множители

1) a2 +2a+1 y2 +10y+25 4x2-12xy+9y2

2) 4y2 +20y+25 9/16 – 12a2 +64a4 1/9a6 +1/3a3b2 +1/4b4

Применив формулы сокращённого умножения, вычислить

3) 512 71х69 – 612 (492 – 392) - 242

Решите уравнение:

4) ¼ +x2x = 0 4x2 -12x +9=0 (4а – 1)2 – 4(2а – 1) = 16a2

Упростить выражение:

5) (x+5)2 _ x2 +10x (x-1)2 _ (x-2)2 9p2 + 4 + 6p

5 5 2 2 4 – 9p2







Ответы к контрольным заданиям:

Безымянный.png 69490782_08.png





Глава 3. Сумма (разность) кубов a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2)

a3b3 = (ab)(a2 + ab + b2)

3.1. Упражнения для памяти: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

3.1.1.Заполни пропуски:

x3 + y3 = (x + y)(…. xy …..)

x3 – y3 = (………)(x2 + xy + y2)

-…..= (x – 4)(x2 + 4x + 16)

1 + 8a3 =(1 + 2a)(1…2a….4a2)

- 27x3= (….- …..)(1 + 3x + 9x2)

(1/2 + ab)(1/4 1/2 ab + a2b2) =…. + ….

(a2 – b2)(a…. + a2b2 + b….) = …..-……

(4у – 1)(16у2 + …. + 1) = ………1

(5х + 4) (25х2 – 20х + …. )= 125x3 +….

b² +20b+… = (…. + ... )²  
216m² - ….= (…..- 8m)( …..+ 8m)
(….. + 3x)² =49y² +…. + …..
(3a +… )(3a - ….) = …… - 81
(5x - ….)² = …. - …. + 16

64x3 - ….= (…. – y2)(… +4xy2 + … )

(3/4 + ab)(… - 3/4ab +… ) =… + ….



3.1.2.Найди ошибку: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(4у -3х)(4у+3х)=8у² - 9у²  
100х² - 4у²=(50х-2у)(50х+2у)

(3х+у)²=9х² - 6ху + у²          

(6a-9c)²=36a² -54ac +81c²   

х³+8=(х+2)(х² - 4х+4)  

   3.2. Задания для закрепления

3.2.1. Найти значение выражения

а) (2a + 3b)( 4a2 – 6ab + 9b2), при a = 2; b = 1.

Решение:

Ответ:

б) (x + 3)(x2 – 3x + 9), при x= ½

Решение :

Ответ:

3.2.2. Решите уравнение:

а) x4x = x2 +x + 1

Решение:



Ответ:

б) x3 + 2x2 – 9x – 18 = 0

Решение:





Ответ:

3.2.3. Преобразуйте в многочлен Ответ

а) (x + 6)( x2 – 6x + 36) – 2(x – 3)(x + 3)

б) (a – 4)( a + 1) + (a2 – a + 1)(a + 1)

в) -2(x-1)x – (x + 7)(x2 -7x + 49)

г) -2(x+ 2)2 – (x +5)(x2 – 5x + 25)

д) (с – 7)(с2 +7с + 49) – (с - 3)с

е) 2v(v +5) – (v – 1)(v2 +v + 1)

ж) y(y + 1) – (y + 2)(y2 – 2y + 4)

3.2.4.Вычислите, используя формулы сокращенного умножения :Безымянный.png=



Безымянный.png=



Безымянный.png =

9992 =



3.3 Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

1)Преобразуйте в многочлен

(x + 2)(x2 – 2x + 4) (a – 1)(a +1) - (a -1)(a2 +a+1) (b +4)(b2 -4b+16) - (b2-3)b

2) Вычислите:

Безымянный.png Безымянный.png Безымянный.png

3) Решите уравнение:

x3 – 1= x(x2 +1) - x4 - x =x3 - x2 +x x3 + 6x2 x – 6 =0



Ответы к контрольным заданиям:

Безымянный.png 69490747_04.png

















Глава 4. Куб суммы (разности) (a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3- 3a2b + 3ab2 - b3

4.1.Упражнения для памяти Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

4.1.1. Заполнить пропуски:

(a +b)3=a3 + … + …..+b3

(ab)3= a3 …3a2b+3ab2b3

(2 + x)3 = …+12x+6x2 + ….

(c – 3)3 = c3 – 9c2 + ….. – 27

(1/2 + y)3 = 1/8 + …. + 1,5y2 + y3

125 + ……+ 15a2 +…….= (5 +a)3

(2a - …. )3 = 8 a3 - 12 a2b + 6a b2 - b3

(3b + 2a)3 = 27 b3 + …. +…. + 8 a3



4.1.2. Найди ошибку:

(3х+1)3= 27х3 + 9х + 9х +1

(5a – 2)3 = 125a2 – 150a2 + 60a - 8

(y – 1/3)3= y3 + y21/3y + 1/27

4.2.Задания для закрепления

4.2.1. Показать, что выражение (а – 2)– (а (3 + (а – 3)2) – 10) при всех значения а, равно 2.

Решение:

Ответ:

4.2.2.Реши уравнение: ((х + 6)– х(х + 9)2) : 27 = 1

Решение:





Ответ:

4.2.3.Вычислить:

0,43 + 3*0,4*0,1 + 0,03*0,4 +0,001=?

Решение:

Ответ:



























4.3.Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

1)Преобразуйте в многочлен

(2 +c)3 (xy2)3 (1/2x2yxy2)3

2) Возвести в куб выражение:

(a +b+c)3 (a+b+c+d)3 (a + b)5



Ответы к контрольным заданиям:

Вариант 1.1) 8 + 12с +6с2 + с3; 2) a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3ac2+3bc2+3a2c+3b2c+6abc;

Вариант 2.1)x3- 3x2y2+3xy4-y6; 2)a3+b3+c3+d3+3a2(b+c+d)+3b2(a+c+d)+3c2(d+a+b)+3d2(a+b+c)+6(abc+abd+acd+bcd);

Вариант 3.1) 1/8x6y3 – 0,75x5y4+1,5x4y5- x3y6; 2)10a2b3+5ab4+b5.

























Глава 5. Совместное применение формул сокращённого умножения

5.1. Упражнения среднего уровня

5.1.1.Упростите выражение и выберите верный ответ:

(x +6y)2 – (6y + 5x)(6y – 5x) + x(12y – 6x)

Решение:







http://festival.1september.ru/articles/626618/Image2972.gif

http://festival.1september.ru/articles/626618/Image2973.gif

http://festival.1september.ru/articles/626618/Image2974.gif







5.1.2. Проведите соответствия, соединив стрелками

А) (a - b)2
Б) (3x - 4)
2
В) (-c
2+3x4)2
Г) (m
2 - 3n)2
Д) (a +2b)
2
Е) (2c +5)
2
Ж) (10x-3)(10x+3)
З) (6n-p)(p+6n)


1)m4-6m2n+9n2
2)100x
2-9
3) 9x
2-24x+16
4) 36n
2-p2
5) 9x
8-6x4c2+c4
6) a
2+4ab+4b2
7) 4c
2+20c+25
8) a
2-2ab+b2




5.1.3.Вычислите значение выражения:

(y+5)(y2 – 5y + 25) – y(y2 + 4), при y = - 25

Решение:





Ответ:

5.1.4. Сравнить: 372  и 36 · 38

36 · 38 =(37-1) · (37+1)= 372 – 12

Значит, 372 > 36 · 38.

Задание.

Сравнить: 742 и 73х75

Решение:

Ответ:



5.1.5. Представьте в виде многочлена:

а) ( x + 7)2;

б) (-4n3 + n)(n + 4n3)

5.1.6. Разложите на множители:

а) y5 – 25y3

б) 16x + 8x2 + x3

5.1.7.Упростите выражение:

а) (x +7)2 – 10x

б) (3a +p)(3a- p) + p2

5.1.8.Решите уравнение:

а) (x2 -1)(x2 +3) = (x2 +1)2 +x

Решение:





Ответ:

б)12-(4-х)2 = х(3-х)

Решение:





Ответ:
в) 36-х2 = 0

Решение:



Ответ:

г) (2х+3)2-4(х-1)(х+1)=49

Решение:



Ответ:
д) (x-4)(x+4)+(3x-4)(x+2)=(2x+3)2

Решение:







Ответ:









5.2. Упражнения повышенного уровня

5.2.1. Поставить в соответствие, соединив стрелками

А)(a + b)2
Б)(a - b)2
В) a2 - b2
Г) (a + b)3
Д) (a - b)3
Е) a3+ b3
Ж) a3- b3

1) (-в-а)(в-а)
2) a
3+3a2b+3ab2+b3
3) a
3-3a2b+3ab2-b3
4) (a+b)·(a
2-ab+b2)
5) (a-b)·(a+b)
6) a
2-2ab+b2
7) (b-a)
2
8) (a-b)·(a
2+ab+b2)
9) (-b+a)
2
10) a
2+2ab+b2
11) (b+a)
2
12) (-a-b)
2



5.2.2.Представьте в виде многочлена:

а)(-7x-1)2;

б) (-6a2 – 2b4)(6a2 – 2b4).

5.2.3.Разложите на множители:

а)a3 – 2a2 +18 – 9a;

б)x5y2 + 27x2y5.

5.2.4. Упростите выражение:

а)2x(1 +x) – (x – 2)(x + 2);

б) 4c (c - 2) – ( c – 4)2.

5.2.5.Решите уравнение:

x3 + 3x2x – 3 = 0

Решение:





Ответ:

5.2.6. Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение: 24xy = 12xy + 12 xy = 2x·6y + 2x·6y = (x +6y)2 – (x – 6y)2

или 24xy = 2•6x•y + 2•6x•y = (6x + y)2 – (6x – y)2

или 24xy = 2•xy•6 + 2•xy•6 = (xy + 6)2 – (xy – 6)2

Задание: Представить выражение 28аb в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение:



5.2.7.Представьте выражение 2а(а2 + 3b2) в виде суммы кубов двух многочленов.

Решение: 2а(а2 + 3b2) = 2a3 + 6ab2 = a3 + 3ab2 + a3 + 3ab2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a + b)3 + (a - b)3;

Задание: Представьте выражение 2b(3a2 + b2) в виде разности кубов двух многочленов.

Решение:



5.2.8. Докажите, что выражение (5m-2)(5m+2)-(5m-4)2 - 40m не зависит от значения переменной.

Решение :(5m-2)(5m+2)-(5m-4)2-40m=25m-24-(25m2+16-40m)-40m=25m2-4-25m2-16+40m-40m=-20

Задание: Докажите, что выражение (2x – 3)(2x +3) – (2x – 9)2 – 36x не зависит от значения переменной x.

Решение:







Формулы сокращенного умножения.zip
Войдите для скачивания файлов
Обсуждение материала
Марина Гилярова
31.01.2014 07:40
Архивный документ содержит учебно - методическое пособие для освоения темы "Формулы сокращенного умножения". Методика изложения соответствует требованиям программы изучения математики в 7-м классе. Достоинством работы является разнообразие заданий по выбранному разделу. Используя данный документ на учебных занятиях, учитель реализует поставленные перед собой цели.
Не очень понравилась картинка на обложке - безрадостный, не вселяющий оптимизма фрагмент изучения трудно сказать какой науки, потому как на доске нарисованы не формулы сокращенного умножения. "Бросается" в глаза большой объем пустого пространства: огромные поля, больше половины пустого листа между главами. Но в тоже время - мелкий шрифт, мелкий картинки.
Пособие можно использовать при изучении данной темы математики. В конце документа следует составить перечень информационных источников, в том числе используемый учебник, дидактические материалы и т.д.
Елена Шкромада
31.01.2014 10:24
Спасибо большое за комментарий. Задумывалось, что учителя могут копировать тексты с заданиями и было бы удобным разделение глав и тем. Картинка на первом листе говорит о трудности темы. Если очень не понравилось изображение- можно поискать и заменить на более жизнерадостное.
Для добавления отзыва, пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь.
Образовательные вебинары
Подписаться на новые
Задать вопрос
@mail.ru
@mail.ru
@mail.ru