В вашем браузере отключен JavaScript. Из-за этого многие элементы сайта не будут работать. Как включить JavaScript?

Урок-консультация "Функциональный метод решения комбинированных уравнений"

Республика Саха (Якутия)







Открытое занятие

по алгебре и началам анализа

в 11 А классе

(социально-экономический профиль)



Тема: «Функциональный метод решения

комбинированных уравнений»

(урок-консультация)




Учитель: Бракк Елена Михайловна















СОШ №1

г. Нерюнгри - 2011 г.



Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков по теме «Решение комбинированных уравнений»

Цели:

  1. Обучающая: закрепить и углубить знания, умения и навыки учащихся по решению нестандартных комбинированных уравнений, используя свойства ограниченности функций и свойства монотонности функций.

  2. Развивающая: развивать творческие способности учащихся, позновательный интерес к предмету; развивать исследовательские способности: умение анализировать, сравнивать, сопоставлять и обобщать.

  3. Воспитательная: воспитывать чувство взаимопомощи, ответственности за полученный результат, упорство и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока:

  1. Таблица «Опорные неравенства»;

  2. Раздаточный материал для домашнего задания;

  3. Раздаточный материал для дифференцированной работы в группах.

  4. Оценочные листы деятельности учащихся в группах;

  5. Таблица «Решение комбинированного уравнения графическим методом»


Подготовительный этап

За неделю до урока ученикам даются теоретические вопросы и письменное домашнее задание.

Вопросы теории:

  1. Сформулировать теорему об использовании ограниченности функции к решению комбинированных уравнений;

  2. Сформулировать теорему об использовании свойства монотонности функции к решению комбинированных уравнений;

  3. Указать область значений следующих функций:

y = sinx; y = cosx;

y = arc sinx y = arc cosx

y = arc tgx y = arc ctgx

y = |f(x)|

, где

, если а>0 , если а<0

y = a sinx+b cosx

Домашние задания на открытый урок

Решить уравнения:










Учащиеся класса делятся на четыре группы (по 6 – 7 человек в группе), выбираются консультанты в каждой группе из числа тех, кто занимается на «4» и «5». Во внеурочное время консультанты устно отвечают учителю на теоретические вопросы и показывают ему решение домашних уравнений. При необходимости консультанты получают у учителя консультацию по решению или оформлению задач повышенного уровня сложности. На уроке консультанты выступают в роли учителя: спрашивают, проверяют и оценивают ответы и решения учащихся, заполняют оценочные листы. Работа групп проходит под наблюдением учителя



Ход урока


Этап 1 Организационный момент.

Учитель: Одним из эффективных методов решения уравнений является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с чётной степенью и т. д. Вспомним наиболее распространённые неравенства ( на доске – таблица опорных неравенств):


1sin x1 ─1cos x1



π /2arc sinπ /2 0arc cosπ


π /2<arc tg<π /2 0<arc ctg<π


|f(x)|0; ; ;


где


если a > 0; равенство достигается при а =1.


если a < 0; равенство достигается при а = –1.


при равенство достигается при a=b.






Этап 2 Актуализация знаний учащихся.

  1. Кратко обсуждаются способы и приёмы, с помощью которых решались уравнения из домашнего задания. Ребята задают вопросы учителю по заданиям более высокого уровня сложности (№6 - №7). Эти задания обсуждаются более подробно у доски теми учащимися, которые с этими заданиями справились.


Пример №6

Решение:

x>0


x>0

Рассмотрим функции

и .

Оценим значения функции f(x). Поскольку х и - взаимно-обратные величины и x > 0, то ; .

В силу возрастания функции на множестве положительных чисел получим , т.е. .

Итак, .

Оценим значения функции g(x).

. Итак, .

Т.к. , а при то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе f(x)=2

g(x)=2

x > 0 x > 0


x=1

x>0


x > 0


Ответ: х=1.



Пример №7 Решить уравнение

Решение:

Рассмотрим функции и .

Оценим значения функций.

Итак,

Итак, .


Т.к.а , то равенство f(x)=g(x) может быть только в том случае, когда обе части уравнения равны единице, т.е.



.

Из второго уравнения системы получаем, что

или


или


Т.е. , .

Подставим значения в первое уравнение системы:

;

;

; (истинно).

Отсюда следует, что решением системы уравнений являются числа

Ответ: .

В то время, когда двое учащихся решают у доски уравнения №6 и №7 из домашнего задания, с остальными учащимися проводится «Разминка» (устные упражнения).

Найти область значений следующих функций:

Ответы:

  1. f(x) = 2+|x|;

  2. f(x) = 3sin²x; E(f) = [0;3]

  3. f(x) = (4x-3)²+7;

  4. ;

  5. f(x) = tg²x+ctg²,

где ;

е) f(x) = 3sin2x – 4cos2x; E(f) = [-5;5]

ж) ;

з) ; E(f) = (0;1]


Этап 3 Дифференцированная самостоятельная работа в группах.

Группы получают по семь карточек, на каждой из которых записано одно из комбинированных уравнений разного уровня сложности. Учащиеся сами выбирают уровень сложности задания (всего их 3).

Карточки синего цвета – с заданиями продвинутого уровня более простого вида. Их правильное решение гарантирует ученику оценку «3».

На карточках зеленого цвета – задания продвинутого уровня более сложного вида, их правильное решение гарантирует ученику оценку «4».

На карточках красного цвета – задания повышенного уровня сложности, их правильное решение гарантирует ученику оценку «5».

Синяя карточка №1

Решить уравнение .

Синяя карточка №2

Решить уравнение .

Синяя карточка №3

Решить уравнение


Зелёная карточка №4

Решить уравнение

Зелёная карточка №5

Решить уравнение .

Красная карточка №6

Решить уравнение

Красная карточка №7

Решить уравнение .

Ответы по самостоятельной работе заранее заготовлены на обратной стороне доски:

1. x =2;

2 х = –3;

3 х = –1,2;

4 х = 1,5;

5 х = 0,25;

6 х = 2;

7 х = 1.

Этап 4 Устные упражнения на применение свойства возрастания (убывания) функции к решению комбинированных уравнений.

Учитель: В задании будут даны две функции, несовместимые для непосредственного аналитического решения. Необходимо будет провести нестандартные логические рассуждения для решения уравнения f(x) = g(x). В ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций y = f(x) и y = g(x).

Ученики формулируют теорему:

Если функция y = f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a;b], а функция y = g(x) непрерывна и убывает на этом же отрезке, то уравнение f(x) = g(x) на отрезке [a;b] может иметь не более одного корня.

Учитель: Поэтому при решении уравнения f(x) = g(x) необходимо исследовать функции y = f(x) и y = g(x) на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке [a;b] убывает, а другая функция возрастает, попытаться отбором найти единственный корень уравнения или показать, что такого корня не существует.

Пример 1 Решить уравнение

Решение:

Общая часть областей существования функций и есть промежуток [-7;+∞). На этом промежутке функция f(x) убывает, а функция g(x) возрастает. Следовательно, исходное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х= -2

Ответ: х= -2.

Пример 2 Решить уравнение

Ответ: не имеет корней.

Примечание:

Это хорошо видно на таблице, где построены графики функций и .

Этап 5 Рефлексия деятельности групп (отчёт консультантов).

Оценочный лист учащихся группы

Консультант: _____________

п /п

Ф.И.учащегося

Вопросы теории

Домашние задачи

Оценка за д\з

Защита д\з у доски

Разминка

Диф. с. р.

Оценка за урок

Опорные нер-ва

Исп. св-ва огран.

Исп. св-в монотон.

1

2

3

4

5

6

7

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этап 6 Домашнее задание.

Решить уравнения:

4*.


Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары, курсы повышения квалификации, профессиональная переподготовка и профессиональное обучение. Низкие цены. Более 7400 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.

Подробнее
Подписаться на новые
Используйте вашу учетную запись Яндекса для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Odnoklassniki.ru для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Google для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись VKontakte для входа на сайт.
@mail.ru
Используйте вашу учетную запись Яндекса для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Odnoklassniki.ru для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Google для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись VKontakte для входа на сайт.
@mail.ru
Используйте вашу учетную запись Яндекса для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Odnoklassniki.ru для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Google для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись VKontakte для входа на сайт.
@mail.ru