В вашем браузере отключен JavaScript. Из-за этого многие элементы сайта не будут работать. Как включить JavaScript?

Разработка урока в 11 классе Использование свойств функций.doc

Разработка урока в 11 классе Использование свойств функций.doc

Елена Егорова
Тип материала: Урок
просмотров: 1669 комментариев: 2
Краткое описание
Разработка урока в 11 профильном классе по теме "Использование свойств функции - ограниченность, чётность, монотонность для решения уравнений". Цель данной разработки - научить учащихся применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стиму¬лировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения; подготовить учащихся к  итоговой аттестации.
Описание
Учитель: Егорова Елена Николаевна. 
Школа № 94, г. Саратов.
Предмет: алгебра и начала анализа
Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-1 класс. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 4-е изд., доп.-М.: Мнемозина, 2010.
Учебный план – 6 часов в неделю (из них 4 ч. — алгебра и начала анализа, 2 ч. – геометрия)
Класс – 11
 
 Тема: Использование  свойств функций 
 

Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений, навыков.
Оборудование: меловая доска, интерактивная доска.
 
 Цели урока:
 

·  дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стиму­лировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения; подготовить учащихся к  итоговой аттестации.
 
·  развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование мате­матической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, синтезировать математические факты при выполнении задания; развивать самостоятельность, гибкость, антикомформизм мышления; учить учащихся корректировать свою деятельность в ходе урока; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы;
 
·  воспитательная: формирование элементов социально-личностной компетентности на основе умения проектировать и осуществлять алгоритмическую и эвристическую деятельность, проверять и оценивать результаты деятельности; приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыка работы с учебной литературой.
   
 
Этапы урока и их содержание
 

 
Время, мин
 

 
Деятельность
 

 
учителя
 

 
обучающихся
 

 
I. Организационный этап 
 
1
 
Организационная
 
Сообщают об отсутствующих
 
 
П. Постановка цели.
 
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений функциональным способом,  по­пробуем подойти к выполнению заданий не только применяя изу­ченные методы и способы, но и не­стандартные подходы.
 
 
3
 
Сообщает дату поведения урока, тему урока, цель урока – они написаны на меловой доске.
 
Записывают в тетради
 
III. Проверка домашнего задания
 
На дом вам было предложено ре­шить уравнения  различными мето­дами. Посмотрим ваше решение. 
 
 
5
 
Вызывает по желанию 2-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам (приложение 2). 
Если учащиеся испытывают затруднения с решением уравнения, учитель показывает решение на интерактивной доске (приложение 1).
Выставляет оценку за д/з.
 
 
После  фронтальной беседы по теоретическим вопросам проверяют собственное решение домашнего задания.
 
IV. Фронтальная беседа по теоретическим вопросам.
Вопросы подготовлены заранее и демонстрируются на интерактивной доске (приложение 2).
 
5
 
Оценивает ответы, при необходимости задаёт наводящие вопросы, демонстрирует верный ответ.
 
Ученики отвечают на вопросы и выбирают верные ответы  из предложенных вариантов.
 
 
V. Анализ заданий и способов их выполнения.
На интерактивной доске появляется набор уравнений. Учащимся предлагается выбрать способы решения данных уравнений и определить, какие свойства функций могут быть использованы при их решении (приложение 3).
 
15
 
Учитель вместе с классом разбирает предложенные учащимися способы решения, оценивает решение уравнений на доске, при большом затруднении решение демонстрируется на интерактивной доске.
 
Анализируют предложенные уравнения и предлагают способ решения. Вызванные к доске затем решают уравнения.
 
VI. Обучающая самостоятельная работа с самоконтролем.
 
7
 
На интерактивной доске учитель демонстрирует текст самостоятельной работы на 2 варианта. Задания подобраны с учётом возрастания степени сложности, ко всем заданиям приведены указания. Ответы появляются на доске через 6 мин (приложение 4).
 
Учащиеся решают задания, выбирая доступные по уровню сложности, затем сверяют с ответами на доске.
 
VII. Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания.
Домашнее задание даётся с несколькими уровнями сложности, на карточке с домашним заданием есть указания по решению (приложение 5).
Рекомендуемая дополнительная литература по данному вопросу:
1.     Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. С.Н.Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко.-М.: Дрофа, 2001.
2.     Пособие для интенсивной подготовки к выпускному, вступительному экзамену и ЕГЭ по математике. 
     А.Н. Рурукин.-   
     М.: ВАКО, 2006
 
4
 
Выставляются оценки ученикам, решавшим уравнения на доске.
 
 
Учащиеся анализируют домашнее задание с указаниями на карточках и задают вопросы по нему.
 
 
 

Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары, курсы повышения квалификации, профессиональная переподготовка и профессиональное обучение. Низкие цены. Более 8900 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.

Файлы
Разработка открытого в 11 классе Использование свойств функций.doc
HTML Войдите для скачивания файлов

Учитель: Егорова Елена Николаевна.

Школа № 94, г. Саратов.

Предмет: алгебра и начала анализа

Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-1 класс. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 4-е изд., доп.-М.:Мнемозина, 2010.

Учебный план – 6 часов в неделю (из них 4 ч. - алгебра и начала анализа, 2 ч. – геометрия)

Класс – 11


Тема: Использование свойств функций

Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений, навыков.

Оборудование: меловая доска, интерактивная доска.


Цели урока:

  • дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стиму­лировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения; подготовить учащихся к государственной итоговой аттестации и вступительным экзаменам в вузы.


  • развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование мате­матической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, синтезировать математические факты при выполнении задания; развивать самостоятельность, гибкость, антикомформизм мышления; учить учащихся корректировать свою деятельность в ходе урока; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы;


  • воспитательная: формирование элементов социально-личностной компетентности на основе умения проектировать и осуществлять алгоритмическую и эвристическую деятельность, проверять и оценивать результаты деятельности; приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыка работы с учебной литературой.


Этапы урока и их содержание

Время,мин

Деятельность

учителя

обучающихся

I. Организационный этап


1

Организационная

Сообщают об отсутствующих


П. Постановка цели.


Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений функциональным способом, по­пробуем подойти к выполнению заданий не только применяя изу­ченные методы и способы, но и не­стандартные подходы.


3

Сообщает дату поведения урока, тему урока, цель урока – они написаны на меловой доске.

Записывают в тетради

III. Проверка домашнего задания


На дом вам было предложено ре­шить уравнения различными мето­дами. Посмотрим ваше решение.


5

Вызывает по желанию 2-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам (приложение 2).

Если учащиеся испытывают затруднения с решением уравнения, учитель показывает решение на интерактивной доске (приложение 1).

Выставляет оценку за д/з.


После фронтальной беседы по теоретическим вопросам проверяют собственное решение домашнего задания.

IV. Фронтальная беседа по теоретическим вопросам.

Вопросы подготовлены заранее и демонстрируются на интерактивной доске (приложение 2).

5

Оценивает ответы, при необходимости задаёт наводящие вопросы, демонстрирует верный ответ.

Ученики отвечают на вопросы и выбирают верные ответы из предложенных вариантов.


V. Анализ заданий и способов их выполнения.

На интерактивной доске появляется набор уравнений. Учащимся предлагается выбрать способы решения данных уравнений и определить, какие свойства функций могут быть использованы при их решении (приложение 3).

15

Учитель вместе с классом разбирает предложенные учащимися способы решения, оценивает решение уравнений на доске, при большом затруднении решение демонстрируется на интерактивной доске.

Анализируют предложенные уравнения и предлагают способ решения. Вызванные к доске затем решают уравнения.

VI. Обучающая самостоятельная работа с самоконтролем.

7

На интерактивной доске учитель демонстрирует текст самостоятельной работы на 2 варианта. Задания подобраны с учётом возрастания степени сложности, ко всем заданиям приведены указания. Ответы появляются на доске через 6 мин (приложение 4).

Учащиеся решают задания, выбирая доступные по уровню сложности, затем сверяют с ответами на доске.

VII. Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания.

Домашнее задание даётся с несколькими уровнями сложности, на карточке с домашним заданием есть указания по решению (приложение 5).

Рекомендуемая дополнительная литература по данному вопросу:

  1. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. С.Н.Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко.-М.:Дрофа, 2001.

  2. Пособие для интенсивной подготовки к выпускному, вступительному экзамену и ЕГЭ по математике.

А.Н. Рурукин.-

М.:ВАКО, 2006

4

Выставляются оценки ученикам, решавшим уравнения на доске.


Учащиеся анализируют домашнее задание с указаниями на карточках и задают вопросы по нему.



Приложение. Решение уравнений.

Решите уравнения:

  1. х3 = 2-х;

  2. ;

  3. ;

  4. 3х + 5х + 7х = 15х;

  5. sin x 13 +cos x 13 =1;

  6. 2х+ 2=;

  7. π2+2(arcsin (-x))2 + = -3 π arcsin (-x);

  8. ;

Решение уравнения 1.

х3 = 2-х;

Аналогично домашней работе используем функциональный способ – применяем свойство монотон-ности функций:


f(x)= х3 степенная функция, возрастающая на D(f)=R;


g(x) = 2-х линейная функция, убывающая на D(f)=R, т.к. k=-1.


Таким образом, найденное подбором решение х = 1 – единственное.


Ответ: 1.


Решение уравнения 2.

Аналогично используем функциональный способ – применяем свойство монотонности функций:

f(x)= функция, возрастающая на D(f)=[-1;);

g(x) = линейная функция, убывающая на D(f)=R, т.к. k=-1.

Таким образом, найденное подбором решение х = 3 – единственное.

Ответ: 3.

Решение уравнения 3


Используем свойство монотонности функций: в левой части уравнения функция возрастающая как сумма возрастающих функций, в правой части - функция убывающая.

Таким образом, найденное подбором решение х = 9 – единственное.

Ответ: 9.


Решение уравнения 4.


3х + 5х + 7х = 15х;

Здесь тоже хочется использовать свойство монотонности функций, но в левой и в правой части функции возрастающие. Используем известный приём: разделим на 15х0. (Вопрос учащимся – какое ещё свойство функции f(x)= 15х здесь используется? Ответ: ограниченность снизу, 15х>0).

Имеем

f(x) = функция убывающая на D(f)=R как сумма убывающих функций;

1 - константа.

Таким образом, найденное подбором решение х = 1– единственное. Ответ: 1.


Решение уравнения 5.


sin x13 +cos x 13 =1;

Рассмотрим функцию f(x)= sin x13 +cos x 13.

Если х<0, f(x)>1, корней нет.

Если х0, то f(x)= sin x13 +cos x 13 является убывающей функцией как сумма убывающих функций (т.к. 0 < sin 13 < 1, 0 < cos 13 < 1). В таком случае уравнение имеет единственный корень х=2, что следует из основного тригонометрического тождества.

Ответ: 2.


Решение уравнения 6.

2х+ 2=;

Функция f(x)= 2х+ 2 ограниченная снизу согласно неравенству Коши: 2х+ 22. Равенство f(x) двум имеет место при х=0.

Функция g(x)= ограниченная, т.к. | | 1.

Значит, равенство выполняется, если =1, , . Найденное ранее х=0 входит в данное множество решений.

Ответ: 0.

Решение уравнения 7.


π2+2(arcsin (-x))2 + = -3 π arcsin (-x);


Пусть у = arcsin x, используем нечётность arcsin x,

тогда 2у2 - 3 πу + π2=0,

откуда ,

, .

1) . Нет решений, так как .

2) . х=1.

Ответ: 1.

Решение уравнения 8.


Так как функции у=sinx, y=cosx ограничены сверху 1, уравнение равносильно системе

;


;


;

.

Данная система не имеет решений, что означает – исходное уравнение решения не имеет.

Ответ: решения нет.


Решение уравнения 9.

;

Очевидно, что x = 0, x =1, x = -1 являются корнями уравнения. для нахождения других корней уравнения в силу нечётности функции достаточно найти его решения в области x>0, x1, поскольку если хо >0 является его решением, то и (-хо) также является его решением.

;

;

  • На промежутке (0;1) функция принимает только отрицательные значения, поскольку х3<х, а функция принимает только положительные значения. Значит, на (0;1) уравнение не имеет решений.

  • На промежутке (1;+) функция принимает только положительные значения, а функция принимает значения разных знаков, причём на (1;2] функция неположительна. Значит, на (1;2] уравнениене имеет решений.

  • На промежутке (2;+) функция ограничена, т.к..

  • Докажем, что ограничена снизу, т.е. . Это означает, что и на промежутке (2;+) уравнение не имеет решений.

Итак, других корней, кроме x = 0, x =1, x = -1 нет.

Ответ: -1,0,1.



6


Обсуждение материала
Ирина Ермолаева
22.06.2011 17:18
Елена Николаевна, что-то много вопросов и замечаний возникло по Вашему материалу.
1. Цели формулируются со слов "Создание условий для...", а дальше - усвоения..., ознакомления..., формирования... и т.д. А с глагола в неопределённой форме начинается формулировка задач урока: способствовать развитию логического мышления, и т.д.
2. В описании работы на этапах урока Вы указываете ссылки на Приложения1, 4 и т.д. Но кроме одного приложения с уравнениями я ничего не увидела.
3. А что Вы демонстрируете на доске? Что решают учащиеся?

Считаю, что Ваш материал требует основательной доработки. Надеюсь на понимание, Ермолаева И.А.
Марина Гилярова
23.06.2011 22:50
Чтение материала вызывает много вопросов. Ссылки на приложения не уместны, так как в текстовом документе их нет и не размещена программа для интерактивной доски. В связи с тем, что материал не оформлен, так как нужно, он не воспринимается в целом в законченном виде.
Цели урока следует записать в едином стиле.
Большую часть представленной таблицы занимает домашнее задание (подготовленное к уроку и данное на следующий урок). Теряется акцент на анализе решений уравнений. Литературу (хоть основную, хоть дополнительную) следует выносить в приложение.
После таблицы представлены уравнения, решенные с использованием  свойств функций. Хочется отметить интересно подобранные задания, различных видов, некоторые нестандартные, не решаемые в базовой программе.
Но метод подбора вызывает сразу вопрос об уместности его использования. Уравнение 1 и уравнение 2 легко решаются функционально-графическим способом. Решение уравнения 3 трудно подобрать, проще решить аналитически. Метод подбора можно использовать только при устном решении уравнений и задач. А если требуется действительно решить, то нужно использовать методы, предложенные в учебнике. Навык решения методом подбора затрудняет для учащихся выполнение записи решения задачи при любой форме контроля (самостоятельная работа, экзамен и т.д.).
Материалы к уроку можно использовать при условии их доработки и устранении замечаний.
Для добавления отзыва, пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь.
Подписаться на новые
@mail.ru
@mail.ru
@mail.ru