В вашем браузере отключен JavaScript. Из-за этого многие элементы сайта не будут работать. Как включить JavaScript?

Разработка интегрированного урока по геометрии и МХК по теме "Теорема Пифагора" (8 класс)

Войдите для скачивания файлов



Приложение 1.

О Пифагоре.


Вопросы: 1) Когда и где родился, кто родители? Каким он был в детстве?

2) Пифагор в Египте

3) Вавилонская школа

4) Тайная школа «Великая Греция»

5) Особенности поведения Пифагора

6) Пифагор, его увлечения.

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги - в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное «Великая Греция», в основу которого были положено законы и правила Пифагора, почитаемые как божественные заповеди. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагор был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией (любомудрием).

Он был склонен к мистификациям и демонстративности  в поведении (однажды Пифагор спрятался под землей, а обо всем происходящем узнавал от матери. Потом, иссохший, как скелет, он заявил в народном собрании, что был в Аиде, и показал удивительную осведомленность о земных событиях. За это растроганные жители признали его богом).

 

Никогда не плакал и вообще был недоступен страстям и волнению.

 Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.



Приложение 2.

История открытия теоремы Пифагора

1) Исторические сведения из Древнего Китая, Индии, Египта.

2) Исторические сведения из Вавилона

3) Роль Пифагора

4) Формулировка теоремы

5) Запись данных, рисунка.

6) Приведение доказательства.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.


Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3 ² + 4 ² = 5²

было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.



Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."


Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.




Теорема Пифагора.img14

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а,b и гипотенузой с.

Докажем: a2+b2=c2.

Доказательство:

img3

Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (a+b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab, и квадрата со стороной с, поэтому.

Таким образом (a+b)2= 2ab+c2

Из формулы сокращенного умножения

a2+2ab+b2=2ab+c2.

a2+b2=c2.

Таким образом, теорема доказана.

Приложение 3.

Применение теоремы Пифагора.


1) Как в стихотворной форме звучит теорема Пифагора.

2) Почему теорему Пифагора называли «мостом ослов»?

3) Откуда у теоремы Пифагора появилось название «теорема невесты»?

4) «Пифагоровы штаны во все стороны равны»

5) Решение задачи индийского математика 12 века Бхаскары.

6) Какой треугольник получил название египетского?



Мысль — превыше всего между людьми на земле.

Пифагор


Стихотворение о теореме Пифагора


Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.


Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора называли "мостом ослов".

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда «ослиным мостом» или «бегством убогих», т.е. некоторые слабые ученики бежали от геометрии, не пытаясь понять, а зазубривая доказательство. «Ослиный мост» - непроходимый мост.

Греки же называли тех, кто не мог без посторонней помощи доказать простую теорему, профанами или просто ослами. Поэтому не удивительно, что саму теорему, которая широко использовалась в прикладных науках, в том числе и для разметки полей или строительства пирамид, древние греки называли «мостом ослов». А они очень хорошо знали египетскую математику. Что касается «моста ослов», то есть это был тот порог, который глупые люди не могли осилить, то меткие выражения, они и в наше время ценятся.


У математиков арабского Востока эта теорема получила название "теоремы невесты". Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как "невеста", а не "бабочка". Так появилось ласковое название знаменитой теоремы-"теорема невесты".



У этой теоремы есть геометрическое применение: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на гипотенузе. Вот почему говорят: "Пифагоровы штаны на все стороны равны!". Посмотрите на эти "штаны" сами:

Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора46097323


Доказать самостоятельно.

Подсказка: Рассмотреть 3 квадрата и найти их площади.



Задача индийского математика 12 века Бхаскары.http://festival.1september.ru:8080/articles/534443/img2.jpg

"На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?"

Р е ш е н и е


Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ

по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВC2,


АВ2 = 42 +32,

АВ2 = 25 ,

АВ = 5.

СD=BC+AB

CD=3+5=8

О т в е т:
СD = 8


Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей…








Приложение 4.


В архитектуре и строительстве.


Вопросы:

1)Как в разных стилях строительства применяется теорема Пифагора?

2) Применение в строительстве крыш

3)Строительство громоотводов

4) Применение в строительстве антенн для мобильной связи.

5) Задача из задачника Леонтия Магницкого.



Окна

В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются на части, что не только играет роль орнамента, но и способствует прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Для того чтобы вычислить , чему равен радиус маленькой окружности (зная величины R и r)необходимо применить теорему Пифагора для выделенного треугольника.

use04

Мотив часто встречающийся в романской архитектуре







В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.







Строительство крыши

Pic6

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

     Решение:

     Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:

А) Из треугольника DBC DB=2,5 м

Мотив часто встречающийся в романской архитектуре

     Б) Из треугольника ABF:

      AF==м

Ответ: 5,7 м











Также если рассматривать пирамиду как крышу дома, то, во- первых, можно рассчитать какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана высота крыши.

Во- вторых, решить вопрос о величине боковой поверхности при подсчете стоимости кровельных работ.



Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h
2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½.
Ответ: h ≥ (a2+b2)½

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.

Задача из задачника Леонтия Магницкого (18 век)

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

ВС2=1252-1172 = (125-117)(125+117)=8*242=4*2*121*2

ВС=2*2*11=44 стопы

img3



Ответ: 44 стопы.







































 

 

 

 




Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары, курсы повышения квалификации, профессиональная переподготовка и профессиональное обучение. Низкие цены. Более 6300 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.

Используйте вашу учетную запись Яндекса для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Odnoklassniki.ru для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Google для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись VKontakte для входа на сайт.
@mail.ru