В вашем браузере отключен JavaScript. Из-за этого многие элементы сайта не будут работать. Как включить JavaScript?

8-800-1000-299

Сложные проценты.odt (Изучение процентов)

Генриетта Кобышева
Файл прикреплен к материалу: Изучение процентов
Войдите для скачивания файлов













«ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ»




Автор:

Кобышева Генриетта Ильинична,

учитель математики

Жутовской второй средней школы

с. Жутово-2 Октябрьского района

Волгоградской области


















2014 год.

Задачи на проценты — трудная для учащихся тема.

Применяя технологию укрупнения дидактических единиц (УДЕ) П. Эрдниева, можно изучить три вида задач на проценты одновременно. Это экономит время примерно на 20% и дает качество знаний примерно на 65-70%.

В программе предусмотрено изучать «Проценты», потом «Пропорции». У учащегося возникают трудности:1) ему надо запомнить название типа задач;

2) знать правила нахождения % от числа, числа по его % и находить % отношения.

По УДЕ всё — в одной главе: «Отношение. Пропорция. Процент», причем решение любого вида задач на % сводится к единообразному алгоритму составления пропорции, основанному на следующей цепочке операций:

      1. Напиши условие задач

      2. В левом верхнем углу напиши 100%

      3. Напиши % под %

      4. Заполни таблицу числами, искомую величину обозначь буквой.

      5. Составь уравнение (пропорцию) и реши его (найди неизвестный член пропорции).

100% -

% -




100% -

2 % -




100% - 50р.

2% - Хр.





100 = 50

2 Х





100*Х=2*50



Х=2*50

100

Х=1.


Фрагменты из урока

I. Изучение нового материала

Зная, что в классе 30 учащихся и девочек 18, составь задачу.


Запишем схему задачи: 30,18,


Составь условие задачи.

В 6 классе 30 учащихся. Девочек 18

Сколько % от числа всех учащихся

составляют девочки?

Тип задачи

Нахождение % отношения

Нахождение числа по %

Нахождение % от числа

Схема задачи

30,18,

,18, 60%

30, ,60%

Условие задачи

В классе 30 учащихся. Девочек — 18. Сколько % от всех учащихся составляют девочки?

В классе 18 девочек, что составляет 60% всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?

В классе 30 учащихся. Девочки составляют 60% от всех учащихся класса. Сколько девочек в классе?

Напишем в левом верхнем углу 100%, а рядом напишем соответствующее число

100% - 30

Х% - 18

100% - У

60% - 18

100% - 30

60% - Z

Составим пропорцию

100 =30

Х 18

100=У

60 18

100=30

60 Z

Найдем неизвестный член пропорции

Х=100*18

30

У=100*18

60

Z= 60*30

100

Ответ

Девочки составляют 60 % от всех учащихся

В классе 30 учащихся

В классе 18 девочек


Эта таблица не дается учащимся сразу, а заполняется постепенно. После заполнения 1 колонки дается задание:


а) Составь обратные задачи по схемам 30,18, ;. , 18, 60%

30, , 60%.

б) Сформулируй обратные задачи

в) Запиши составленные задачи

г) Реши их.


Итак, рассмотрено 3 типа задач.

Попробуем им дать названия.

Вспомним схему, которой пользовались при решении задач на приведение к единице:

1 -


-


Закрывая последовательно «окошки», даем название типам задач: нахождение части от числа; нахождение числа по его части.

По аналогии: замени слово «часть» словом «процент».


                  1. Закрепление новых знаний.


  1. Составь и реши по рисунку взаимно обратные задачи


Прямая Обратная

100% - 100% - Х

60% - У 60% -











\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\


По схеме определи тип задачи, запиши схемы в соответствующие колонки таблицы, составь и реши задачи к данным схемам:


Нахождение процентов от числа

Нахождение числа по процентам

Нахождение процентного отношения

100% - 5.4

30% - Х

100% - Хр

7% - 21р

100% - 368т

А% - 14,72т

100% - 500км

56% - Хкм

100% - Уц

30% - 1,62ц

100% - 165м

У% - 10м


III. Переход к решению задач.

1.№ 372, стр.249.

а). Вес тела на Луне составляет 16% веса этого же тела на Земле. Сколько будет весить на Луне космонавт, если на Земле он весит 70кг.?

б). Составьте и решите обратную задачу на нахождение числа по его проценту:

100% - Хкг(Земля)

16% - 11,2 кг (Луна)

в). Вычисли свой вес на Луне.


2.№ 376(стр.251). В личной библиотеке было 400 единиц хранения. Из них 64 книги по математике, 240 — художественные, остальные - «Огонек».

Сколько процентов книг составляют книги по математике, художественные, «Огонек» отдельно. Изобрази рисунком.

б) По рисунку составь задачу на движение
































IV. Сравнение способов решения задач на проценты

(задачи записать рядом)


Задача. С цены товара была сделана скидка 12р., что составило 15% первоначальной цены товара. Чему равна первоначальная цена? Сколько стоит товар после уценки? Реши с помощью пропорции и приведением к единице.

Способ I (пропорцией)

Способ II (приведение к единице)

1. 100% - Хр.

15% - 12р


100 = Х

15 12


Х= 100*12

15


Х= 80.

2. 80-12=68р.

стоит товар после уценки


1. Чему =1%?

12: 15=0,8(р)

2. Чему = 100%?

0,8*100=80р.

3. Сколько стоит товар после уценки?

80-12=68 (р)

Ответ: 80р. - первоначальная цена

68р. - стоимость товара после уценки

Какой из способов вам интересен, рационален?


                1. Решение более сложных задач на %.

Пусть банк выплачивает по сберегательному счету простые % по ставке А в год, причем эта ставка остается неизменной в течение двух лет. Вкладчик может поступить по-разному: 1) Если он закроет счет через год, то он получит сумму S(1) = S(0)x(1+A). Допустим, что он положит эту сумму ещё на 1 год с теми же условиями, тогда через второй год он получит S(2)=S(1)x (1+A)=S(0)x (1+A)2

S (2)= S(0)x (1+A) Равны ли эти суммы? Сравним их. S(0x1+A)2- S(0)x(1+2A)= S(0)x(1+2A+A-1-2A)=S(0)xA.

Так какой же способ выгоднее для вкладчика? Так как вкладчик получает при этом на S(0)xA больше, Величина S(0)xA — приращение на проценты, полученные за первый год или так называемые «проценты на проценты».

Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты. Исходная сумма или база (S(0)) для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления, а для простых процентов база постоянна (S(0)).

Запишем определение.

Капитализацией процентов называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления. Выведем формулу расчета наращенной суммы.

S(n) с годовой процентной ставкой А при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.

S(1)=S(0)+S(0)xA=S(0)x(1+A)

S(2)=S(1)+S(1)xA=S(1)x(1+A)=S(0)x(1+A)2

S(3)=S(0)x(1+A)3....................................

S(n)=S(0)x(1+A)n формула сложных процентов, где S(n) - наращенная сума через n лет.

S(0) — базовая сумма.

Эта формула описывается геометрической прогрессией со знаменателем q=1+1.

Пример1.

Вы положили в банк 10 тысяч руб на срочный вклад при сложной процентной ставке 10% годовых. Сколько денег Вы получите через 2 года?

Дано: S(0)=10000руб., А=0,1, n=2, Найти S(2).

Решение

S(2)=S(0)x(1+A)2. S(2)=10000x (1+0,1)2=10000x1,21=12100 руб.

Ответ: 12100руб.,

Отношение Q=S(n)= S(0)x(1+A)2 = (1+A) n= Qc.

S(0) S(0)


Qc — коэффициент наращения по сложным процентам.

S(n)=S(0) x Qc

    VI. Обобщение и систематизация знаний.


На таких уроках идет творческая работа по решению и составлению задач.













Выводы:

      1. при такой методике исчезает необходимость изучения в 3 подтемах темы: «Проценты». Экономим время.

      2. Повторение алгоритма решения задач, но не прямое, а преобразованное:



а) при решении задач на пропорции использовали схему -

-

б) при решении задач на дроби

1 -


-


в) при решении задач на проценты: 100% -

-



Тему понимают глубже.

      1. Используя аналогию, сравнение, учатся выявлять сходство, различие, проявляют смекалку, сообразительность, учатся самостоятельности.

      2. Открывается поле для творчества, появляется интерес; учащиеся - в фазе активной умственной деятельности.

      3. Сравнение способов решения задач позволяет подходить к решению задач с разных позиций, учит не отступать, отстаивать свою точку зрения и побеждать в трудных случаях.


1.Влажность свежескошенной травы 70%, а влажность сена 16%. Сколько надо скосить травы, чтобы получить 1 т сена?

Решение. В 1 т сена сухой массы 840 кг (100-16%= 84%, 1000*0,84=840).В свежескошенной траве сухая масса составляет 30%. Значит, 840 кг составляют 30% и травы нужно скосить 840:0,3=2800(кг)=2.8(т).

2.Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед — 16%. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда?

(2,8 кг.)

3.Куб с ребром 8 см покрасили со всех сторон, а затем распилили на кубики с ребром 1 см. Какой процент среди них составляют кубики, имеющие только одну окрашенную грань?

Решение. 8*8*8=512 (кубиков) получится при распиле, и среди них с одной окрашенной гранью (6*6)*6=216 (кубиков);

512 кубиков — 100%,

216 кубиков — х%

х= 216*100 =42,1875.

512

(примерно 42,2%.)

4.В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

Решение. Пусть девочек х, тогда мальчиков0,8х. Число девочек составляет от числа мальчиков х *100%=125%

0,8х


5.Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время первоначальную длину участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка?

Решение. Пусть х — длина, у — ширина участка. Тогда его площадь ху. После изменения параметров длина его стала 1,35х, а ширина 0,86у. Площадь нового участка равна 1,35х*0,86у=1,161ху.

Значит, по сравнению с первоначальной площадью увеличилась на 1,161 ху-ху=0,161ху, что составляет 0,161ab *100% =16,1 %.

ab

6.В свежих грибах было 90% воды. Когда их высушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

Решение. Если свежих грибов было х(кг), то сухой массы в них 0,1х (кг). После подсушивания сухой массы стало 40%, т.е. 0,1х (кг) составляет 40%, значит, при влажности 60% грибов стало 0,1х*100% =1х (кг), а испарилось 3х (кг)влаги, что составляет 15 кг., т. е. 40% 4 4

3х=15, х=20.

4

(20 кг свежих грибов.)

7.Имеется 735 г. 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо долить для этого к уже имеющемуся раствору?

(441 г.)

8.Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%.

(Площадь уменьшится на 9%.)

Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары, курсы повышения квалификации, профессиональная переподготовка и профессиональное обучение. Низкие цены. Более 6000 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.

Рекомендуем

Литература, которая может вам помочь.

Отправка ошибки

Текст ошибки:
Комментарий:
Используйте вашу учетную запись Яндекса для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Odnoklassniki.ru для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Google для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись VKontakte для входа на сайт.
@mail.ru