В вашем браузере отключен JavaScript. Из-за этого многие элементы сайта не будут работать. Как включить JavaScript?

8-800-1000-299

Олимпиадные задания, ответы и решения по предмету математика для учащихся 5-9 классов (школьный этап)

Татьяна Пивоварова Татьяна Пивоварова
Тип материала: другое
просмотров: 1728    комментариев: 1
Краткое описание
В данной работе представлены олимпиадные задания, ответы и решения к ним  по предмету математика для учащихся 5-9 классов.
Пожаловаться 04 мая 2015
Файлы
олимпиада математика.doc
HTML Войдите для скачивания файлов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лянторская средняя общеобразовательная школа №4»












Олимпиадные задания, ответы и решения

по предмету математика

для учащихся 5-9 классов

(школьный этап)







Пивоварова Татьяна Геннадьевна,

учитель математики






















Задания

5 класс


1. Вы видите три числа, подписанных одно под другим:

111

777

999

Надо зачеркнуть шесть цифр так, чтобы оставшиеся числа составили в сумме 20.


2. Расшифруйте запись: + О Х О Х О

А Х А Х А

А Х А Х А Х


3. Имеются два сосуда вместимостью 17 литров и 5 литров. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13 литров воды?


4. Хвост рыбы весит 4 кг, Голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – столько, сколько голова и хвост. Сколько весит вся рыба?


Ответы и решения.

5 класс

1. Ответ: 011

+000

009

020

2. Ответ: 90909 +10101 = 101010.


2.Решение. Решение задачи задаётся числовым выражением:

5 – (17 – 5 – 5 – 5) + 5 + 5.


4. Ответ: 32 кг.

Решение. Хвост (Х). Голова (Г). Туловище (Т).

Х=4кг; Г =4кг + 0,5Т; Т = Г + 4кг. Г = 4кг + 0,5(Г+4кг);

2Г = 8кг + Г + 4кг; Г = 12кг; Т = 16кг.

Масса рыбы: 4+12+16 = 32(кг).

Ответ: 32 кг.


6 класс

Задания

1. Расшифруйте запись: + В А Г О Н

В А Г О Н

С О С Т А В


2. Когда внук спросил у дедушки, сколько ему лет, дед ответил: «Если я проживу ещё половину того, что я прожил, да ещё 1 год, то мне будет целый век». Сколько лет дедушке?


3. На каждой из двух прямых отметили по четыре точки. Укажите наибольшее количество треугольников с вершинами в этих точках? Ответ обосновать.


4. В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а лось был первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая – нет. Кто был первым, а кто вторым в кроссе?

Ответы и решения.

6 класс

1. Ответ: 85679 + 85679 = 171358.


2. Ответ: 66 лет.

Решение. Пусть дедушке х лет. Составим уравнение: х + 0,5х +1 = 100; х = 66.


3. Ответ: 48 треугольников.

Решение. Пусть на одной отмечены точки А, В, С и D. Количество отрезков можно подсчитать, используя дерево возможностей:

А В С D

/ | \ / | \ / | \ / | \

B C D A C D A B D A B C

Отрезки АВ и ВА совпадают и т.д. Т.о., на одной прямой 6 отрезков, на другой 4 точки, всего 24 треугольника. Аналогично ещё 24 треугольника.

4. Ответ: Лиса заняла второе место, а лось - первое.

Решение Запишем коротко высказывания двух белок:

1-я белка: «Заяц - I», «Лиса - II».

2-я белка: «Заяц - II», «Лось - I».

Если предположить, что высказывание «Заяц - I» верно, то оба высказывания 2-й белки будут не­верными, а это противоречит условию задачи. Значит, высказывание «Заяц - I» не может быть верным, тогда Лиса заняла второе место, а Лось - первое.

7 класс

Задания

1. Трёхзначное число на 125% больше двузначного числа, составленного из его двух последних цифр. Найдите это трёхзначное число.


2. Школа Пифагора. Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил у Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь ещё к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины”.

Сколько учеников ведёт к рождению вечной истины Пифагор?


3. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 72.

4.Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы два прямоугольника не имели бы более одной общей вершины

5. В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором - на 10 кг меньше, чем в двух других вместе.

Сколько орехов в третьем ящике?

Ответы и решения.

7 класс

1. Ответ: 180.

Решение. 100%+125%=225%, 225% =9/4 двузначного числа. Т.е. двузначное число должно делиться на 4, а при умножении на 9 частного от деления должно получаться трёхзначное число.

2. Ответ: 28.

Решение. Пусть у Пифагора было х учеников. Составим и решим уравнение:

х/2 + х/4 + х/7 + 3 = х

14х+7х+4х+84=28х

3х=84

х=28.


3. Ответ: 4104.

Решение. 72 – произведение чисел 8 и 9.Используя признак делимости на 8, справа приписываем цифру 4, по признаку делимости на 9 слева приписываем цифру 4.

4. Ответ:

5. Ответ: 8 кг орехов

Решение. Соединим оба заданных условия и получим следующее утверждение: «В первом и втором ящиках орехов на 6 кг+10 кг ­меньше, чем в первом, втором и двух третьих». Отсюда следует, что в двух третьих ящиках 16 кг орехов, то есть в третьем 8 кг орехов.



8 класс

Задания

1. У первоклассника Феди в кассе цифр есть только единицы, шестёрки, четвёрки и девятки. Он составил из них 2 числа. Может ли одно них быть ровно в 17 раз больше другого? (ответ обосновать)


2. Постройте график функции


3. Сократите дробь

а4 – b4 + 64 – 16 а2

(а + b)2 – 8 – 2аb

и найдите её значение при а = 37 и в = 27, не прибегая к письменным вычислениям.


4. Найдите углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 15О.


5. Пришел Иван-царевич в подземелье к Кащею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье 3 темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница пустая. На дверях есть надписи. но все они ложные. На первой темнице написано «Здесь Василиса Прекрасная»; на второй темнице «Темница № 3 не пустая», на третьей темнице написано «Здесь Змей Горыныч». В кой же темнице Василиса?






8 класс

Ответы и решения

1. Ответ: не может.

Решение. У Феди есть только 1, 4, 6, 9. Если число а заканчивается на 1, 4, 6, 9, то произведение числа а на 17 заканчивается на 7, 8, 2, 3. А таких цифр в кассе нет.

2. Ответ: прямая у = 0,25 х , с выколотой точкой (3; 0,75).

Решение. После преобразования получаем функцию у = 0,25 х,

при х Є (-∞; 3 ) U (3; +∞ ).



3. Ответ: а2 – 8 – b2; 632.

Решение

Числитель: а4 – b4 + 64 – 16 а2 = ( а4– 16 а2 + 64 ) – b4 = (а2 – 8 )2 –( b2)2 = (а2 – 8 – b2) (а2 – 8 + b2).

Знаменатель: (а + b)2 – 8 – 2аb = а2 + 2аb + b2 – 8 – 2аb = а2 + b2 – 8.

а2 – 8 – b2 = (а – b) (a + b) – 8 = (37–27) (37 + 27) – 8 = 632.


4. Ответ: 30О, 60О, 90О.

Решение.

  1. Угол РСА равен 45О, т.к. СР биссектриса прямого угла.

  2. Угол КСА равен 30О (45О – 15О = 30О).

  3. Угол КАС равен 60О (из прямоугольного треугольника прямоугольного АСК).

  4. Угол СВА равен 30О (из прямоугольного треугольника прямоугольного АВС).


5. Ответ: во второй темнице.

Решение. Василиса не может быть в первой темнице, значит, она во второй или третьей темнице. Так как третья темница пустая, Василиса будет во второй темнице.

9 класс

1. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 72.


2. Известно, что 1/х1 +1/х2 = 0,5, где х1 и х2 – корни уравнения х2 +х + b = 0. Найдите b.


3. В прямоугольный треугольник с катетами 2см и 6см вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.

4. Автомобиль едет сначала 2 мин с горы, а затем 6 мин в гору. Обратный путь он проделывает за 13 мин. Во сколько раз скорость автомобиля при движении с горы больше, чем скорость при движении· в гору? (Считайте, что скорость при движении с горы (в гору) одинакова в обоих на­правлениях.)

5. В трех урнах лежат шары: в одной – два белых, в другой - два черных, в третьей - белый и черный. На урнах висят таблички: ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждой из урн не соответствует табличке. Как, вытащив один шар, определить, в какой урне какие шары лежат?

9 класс

Ответы и решения

  1. Ответ: 4104.

Решение. 72 – произведение чисел 8 и 9.Используя признак делимости на 8, справа приписываем цифру 4, по признаку делимости на 9 слева приписываем цифру 4.

  1. Ответ: -2.

Решение. По теореме Виета х1 + х2 = - 1 и х1* х 2 = b. После преобразования выражения 1/х1 +1/х2 = 0,5, имеем 2(х1 + х2 ) = х1* х 2.

Решаем уравнение: 2 * (-1) = b, b = - 2.


3. Ответ: 6 см.

Решение.

Обозначим сторону квадрата за х. Треугольники ADE и EFB подобны по двум углам, отсюда имеем: (2 - х): х = х: (6 – х). Решив уравнение, получим х = 1,5(см). Р = 6* 1,5 =6 (см).


4. Ответ: 6.

Решение. Пусть скорость автомобиля при движении с горы равна х км/мин, а при движении в гору - у км/мин. Тогда на пути туда автомобиль едет с горы с горы км, а в гору - км.

На обратном пути расстояние 6у км (т.е. путь с горы) автомобиль преодолевает за . 6у /х мин, а расстояние 2х км (т.е. путь в гору) – за 2х/у мин. Всего обратный путь занимает 13 мин. Получаем уравнение:

6у /х + 2х/у = 13.

Из этого уравнения нужно найти отношение х/у. Введя замену х/у = t, получим уравнение с одной переменной: 2t + 6/t = 13. Решив его, найдем, t1= 6, t2 = 0,5. Так как скорость автомобиля при движении с горы больше, чем при движении в гору, то подходит только корень t1= 6 Таким образом, х/у = 6.


5. Решение. Вытащим шар из урны с надписью БЧ.

Если вытащенный шар окажется белым, то в этой урне лежат два белых шара, в урне с надписью ББ не может быть белого и черного шаров, поскольку при этом в урне с надписью ЧЧ содержимое совпадает с надписью. Делаем вывод о том, что в урне с надписью ББ лежат два черных шара, а в урне с надписью ЧЧ лежат два шара разных.

Если вытащенный шар окажется черным, то в урне с надписью БЧ лежат два черных шара, в урне с надписью ЧЧ лежат два белых шара, а в урне с надписью ББ лежат два шара разных цветов.






















Обсуждение материала

Отправка ошибки

Текст ошибки:
Комментарий:
Используйте вашу учетную запись Яндекса для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Odnoklassniki.ru для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Google для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись VKontakte для входа на сайт.
@mail.ru