В вашем браузере отключен JavaScript. Из-за этого многие элементы сайта не будут работать. Как включить JavaScript?

8-800-1000-299

Разработка урока в 11 классе Использование свойств функций.doc

Елена Егорова Елена Егорова
Тип материала: Урок
просмотров: 1300    комментариев: 2
Краткое описание
Разработка урока в 11 профильном классе по теме "Использование свойств функции - ограниченность, чётность, монотонность для решения уравнений". Цель данной разработки - научить учащихся применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стиму¬лировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения; подготовить учащихся к  итоговой аттестации.

Описание
Учитель: Егорова Елена Николаевна. 
Школа № 94, г. Саратов.
Предмет: алгебра и начала анализа
Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-1 класс. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 4-е изд., доп.-М.: Мнемозина, 2010.
Учебный план – 6 часов в неделю (из них 4 ч. — алгебра и начала анализа, 2 ч. – геометрия)
Класс – 11
 
 Тема: Использование  свойств функций 
 

Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений, навыков.
Оборудование: меловая доска, интерактивная доска.
 
 Цели урока:
 

·  дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стиму­лировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения; подготовить учащихся к  итоговой аттестации.
 
·  развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование мате­матической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, синтезировать математические факты при выполнении задания; развивать самостоятельность, гибкость, антикомформизм мышления; учить учащихся корректировать свою деятельность в ходе урока; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы;
 
·  воспитательная: формирование элементов социально-личностной компетентности на основе умения проектировать и осуществлять алгоритмическую и эвристическую деятельность, проверять и оценивать результаты деятельности; приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыка работы с учебной литературой.
   
 
Этапы урока и их содержание
 

 
Время, мин
 

 
Деятельность
 

 
учителя
 

 
обучающихся
 

 
I. Организационный этап 
 
1
 
Организационная
 
Сообщают об отсутствующих
 
 
П. Постановка цели.
 
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений функциональным способом,  по­пробуем подойти к выполнению заданий не только применяя изу­ченные методы и способы, но и не­стандартные подходы.
 
 
3
 
Сообщает дату поведения урока, тему урока, цель урока – они написаны на меловой доске.
 
Записывают в тетради
 
III. Проверка домашнего задания
 
На дом вам было предложено ре­шить уравнения  различными мето­дами. Посмотрим ваше решение. 
 
 
5
 
Вызывает по желанию 2-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам (приложение 2). 
Если учащиеся испытывают затруднения с решением уравнения, учитель показывает решение на интерактивной доске (приложение 1).
Выставляет оценку за д/з.
 
 
После  фронтальной беседы по теоретическим вопросам проверяют собственное решение домашнего задания.
 
IV. Фронтальная беседа по теоретическим вопросам.
Вопросы подготовлены заранее и демонстрируются на интерактивной доске (приложение 2).
 
5
 
Оценивает ответы, при необходимости задаёт наводящие вопросы, демонстрирует верный ответ.
 
Ученики отвечают на вопросы и выбирают верные ответы  из предложенных вариантов.
 
 
V. Анализ заданий и способов их выполнения.
На интерактивной доске появляется набор уравнений. Учащимся предлагается выбрать способы решения данных уравнений и определить, какие свойства функций могут быть использованы при их решении (приложение 3).
 
15
 
Учитель вместе с классом разбирает предложенные учащимися способы решения, оценивает решение уравнений на доске, при большом затруднении решение демонстрируется на интерактивной доске.
 
Анализируют предложенные уравнения и предлагают способ решения. Вызванные к доске затем решают уравнения.
 
VI. Обучающая самостоятельная работа с самоконтролем.
 
7
 
На интерактивной доске учитель демонстрирует текст самостоятельной работы на 2 варианта. Задания подобраны с учётом возрастания степени сложности, ко всем заданиям приведены указания. Ответы появляются на доске через 6 мин (приложение 4).
 
Учащиеся решают задания, выбирая доступные по уровню сложности, затем сверяют с ответами на доске.
 
VII. Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания.
Домашнее задание даётся с несколькими уровнями сложности, на карточке с домашним заданием есть указания по решению (приложение 5).
Рекомендуемая дополнительная литература по данному вопросу:
1.     Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. С.Н.Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко.-М.: Дрофа, 2001.
2.     Пособие для интенсивной подготовки к выпускному, вступительному экзамену и ЕГЭ по математике. 
     А.Н. Рурукин.-   
     М.: ВАКО, 2006
 
4
 
Выставляются оценки ученикам, решавшим уравнения на доске.
 
 
Учащиеся анализируют домашнее задание с указаниями на карточках и задают вопросы по нему.
 
 
 
Пожаловаться 11 июня 2011
Файлы
Разработка открытого в 11 классе Использование свойств функций.doc
HTML Войдите для скачивания файлов

Учитель: Егорова Елена Николаевна.

Школа № 94, г. Саратов.

Предмет: алгебра и начала анализа

Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-1 класс. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 4-е изд., доп.-М.:Мнемозина, 2010.

Учебный план – 6 часов в неделю (из них 4 ч. - алгебра и начала анализа, 2 ч. – геометрия)

Класс – 11


Тема: Использование свойств функций

Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений, навыков.

Оборудование: меловая доска, интерактивная доска.


Цели урока:

  • дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стиму­лировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения; подготовить учащихся к государственной итоговой аттестации и вступительным экзаменам в вузы.


  • развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование мате­матической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, синтезировать математические факты при выполнении задания; развивать самостоятельность, гибкость, антикомформизм мышления; учить учащихся корректировать свою деятельность в ходе урока; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы;


  • воспитательная: формирование элементов социально-личностной компетентности на основе умения проектировать и осуществлять алгоритмическую и эвристическую деятельность, проверять и оценивать результаты деятельности; приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыка работы с учебной литературой.


Этапы урока и их содержание

Время,мин

Деятельность

учителя

обучающихся

I. Организационный этап


1

Организационная

Сообщают об отсутствующих


П. Постановка цели.


Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений функциональным способом, по­пробуем подойти к выполнению заданий не только применяя изу­ченные методы и способы, но и не­стандартные подходы.


3

Сообщает дату поведения урока, тему урока, цель урока – они написаны на меловой доске.

Записывают в тетради

III. Проверка домашнего задания


На дом вам было предложено ре­шить уравнения различными мето­дами. Посмотрим ваше решение.


5

Вызывает по желанию 2-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам (приложение 2).

Если учащиеся испытывают затруднения с решением уравнения, учитель показывает решение на интерактивной доске (приложение 1).

Выставляет оценку за д/з.


После фронтальной беседы по теоретическим вопросам проверяют собственное решение домашнего задания.

IV. Фронтальная беседа по теоретическим вопросам.

Вопросы подготовлены заранее и демонстрируются на интерактивной доске (приложение 2).

5

Оценивает ответы, при необходимости задаёт наводящие вопросы, демонстрирует верный ответ.

Ученики отвечают на вопросы и выбирают верные ответы из предложенных вариантов.


V. Анализ заданий и способов их выполнения.

На интерактивной доске появляется набор уравнений. Учащимся предлагается выбрать способы решения данных уравнений и определить, какие свойства функций могут быть использованы при их решении (приложение 3).

15

Учитель вместе с классом разбирает предложенные учащимися способы решения, оценивает решение уравнений на доске, при большом затруднении решение демонстрируется на интерактивной доске.

Анализируют предложенные уравнения и предлагают способ решения. Вызванные к доске затем решают уравнения.

VI. Обучающая самостоятельная работа с самоконтролем.

7

На интерактивной доске учитель демонстрирует текст самостоятельной работы на 2 варианта. Задания подобраны с учётом возрастания степени сложности, ко всем заданиям приведены указания. Ответы появляются на доске через 6 мин (приложение 4).

Учащиеся решают задания, выбирая доступные по уровню сложности, затем сверяют с ответами на доске.

VII. Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания.

Домашнее задание даётся с несколькими уровнями сложности, на карточке с домашним заданием есть указания по решению (приложение 5).

Рекомендуемая дополнительная литература по данному вопросу:

  1. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. С.Н.Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко.-М.:Дрофа, 2001.

  2. Пособие для интенсивной подготовки к выпускному, вступительному экзамену и ЕГЭ по математике.

А.Н. Рурукин.-

М.:ВАКО, 2006

4

Выставляются оценки ученикам, решавшим уравнения на доске.


Учащиеся анализируют домашнее задание с указаниями на карточках и задают вопросы по нему.



Приложение. Решение уравнений.

Решите уравнения:

  1. х3 = 2-х;

  2. ;

  3. ;

  4. 3х + 5х + 7х = 15х;

  5. sin x 13 +cos x 13 =1;

  6. 2х+ 2=;

  7. π2+2(arcsin (-x))2 + = -3 π arcsin (-x);

  8. ;

Решение уравнения 1.

х3 = 2-х;

Аналогично домашней работе используем функциональный способ – применяем свойство монотон-ности функций:


f(x)= х3 степенная функция, возрастающая на D(f)=R;


g(x) = 2-х линейная функция, убывающая на D(f)=R, т.к. k=-1.


Таким образом, найденное подбором решение х = 1 – единственное.


Ответ: 1.


Решение уравнения 2.

Аналогично используем функциональный способ – применяем свойство монотонности функций:

f(x)= функция, возрастающая на D(f)=[-1;);

g(x) = линейная функция, убывающая на D(f)=R, т.к. k=-1.

Таким образом, найденное подбором решение х = 3 – единственное.

Ответ: 3.

Решение уравнения 3


Используем свойство монотонности функций: в левой части уравнения функция возрастающая как сумма возрастающих функций, в правой части - функция убывающая.

Таким образом, найденное подбором решение х = 9 – единственное.

Ответ: 9.


Решение уравнения 4.


3х + 5х + 7х = 15х;

Здесь тоже хочется использовать свойство монотонности функций, но в левой и в правой части функции возрастающие. Используем известный приём: разделим на 15х0. (Вопрос учащимся – какое ещё свойство функции f(x)= 15х здесь используется? Ответ: ограниченность снизу, 15х>0).

Имеем

f(x) = функция убывающая на D(f)=R как сумма убывающих функций;

1 - константа.

Таким образом, найденное подбором решение х = 1– единственное. Ответ: 1.


Решение уравнения 5.


sin x13 +cos x 13 =1;

Рассмотрим функцию f(x)= sin x13 +cos x 13.

Если х<0, f(x)>1, корней нет.

Если х0, то f(x)= sin x13 +cos x 13 является убывающей функцией как сумма убывающих функций (т.к. 0 < sin 13 < 1, 0 < cos 13 < 1). В таком случае уравнение имеет единственный корень х=2, что следует из основного тригонометрического тождества.

Ответ: 2.


Решение уравнения 6.

2х+ 2=;

Функция f(x)= 2х+ 2 ограниченная снизу согласно неравенству Коши: 2х+ 22. Равенство f(x) двум имеет место при х=0.

Функция g(x)= ограниченная, т.к. | | 1.

Значит, равенство выполняется, если =1, , . Найденное ранее х=0 входит в данное множество решений.

Ответ: 0.

Решение уравнения 7.


π2+2(arcsin (-x))2 + = -3 π arcsin (-x);


Пусть у = arcsin x, используем нечётность arcsin x,

тогда 2у2 - 3 πу + π2=0,

откуда ,

, .

1) . Нет решений, так как .

2) . х=1.

Ответ: 1.

Решение уравнения 8.


Так как функции у=sinx, y=cosx ограничены сверху 1, уравнение равносильно системе

;


;


;

.

Данная система не имеет решений, что означает – исходное уравнение решения не имеет.

Ответ: решения нет.


Решение уравнения 9.

;

Очевидно, что x = 0, x =1, x = -1 являются корнями уравнения. для нахождения других корней уравнения в силу нечётности функции достаточно найти его решения в области x>0, x1, поскольку если хо >0 является его решением, то и (-хо) также является его решением.

;

;

  • На промежутке (0;1) функция принимает только отрицательные значения, поскольку х3<х, а функция принимает только положительные значения. Значит, на (0;1) уравнение не имеет решений.

  • На промежутке (1;+) функция принимает только положительные значения, а функция принимает значения разных знаков, причём на (1;2] функция неположительна. Значит, на (1;2] уравнениене имеет решений.

  • На промежутке (2;+) функция ограничена, т.к..

  • Докажем, что ограничена снизу, т.е. . Это означает, что и на промежутке (2;+) уравнение не имеет решений.

Итак, других корней, кроме x = 0, x =1, x = -1 нет.

Ответ: -1,0,1.



6


Обсуждение материала
  • Ирина Ермолаева
    22 июня 201117:18
    Ирина Ермолаева

    Елена Николаевна, что-то много вопросов и замечаний возникло по Вашему материалу.
    1. Цели формулируются со слов "Создание условий для...", а дальше - усвоения..., ознакомления..., формирования... и т.д. А с глагола в неопределённой форме начинается формулировка задач урока: способствовать развитию логического мышления, и т.д.
    2. В описании работы на этапах урока Вы указываете ссылки на Приложения1, 4 и т.д. Но кроме одного приложения с уравнениями я ничего не увидела.
    3. А что Вы демонстрируете на доске? Что решают учащиеся?

    Считаю, что Ваш материал требует основательной доработки. Надеюсь на понимание, Ермолаева И.А.

  • Марина Гилярова
    23 июня 201122:50
    Марина Гилярова

    Чтение материала вызывает много вопросов. Ссылки на приложения не уместны, так как в текстовом документе их нет и не размещена программа для интерактивной доски. В связи с тем, что материал не оформлен, так как нужно, он не воспринимается в целом в законченном виде.
    Цели урока следует записать в едином стиле.
    Большую часть представленной таблицы занимает домашнее задание (подготовленное к уроку и данное на следующий урок). Теряется акцент на анализе решений уравнений. Литературу (хоть основную, хоть дополнительную) следует выносить в приложение.
    После таблицы представлены уравнения, решенные с использованием свойств функций. Хочется отметить интересно подобранные задания, различных видов, некоторые нестандартные, не решаемые в базовой программе.
    Но метод подбора вызывает сразу вопрос об уместности его использования. Уравнение 1 и уравнение 2 легко решаются функционально-графическим способом. Решение уравнения 3 трудно подобрать, проще решить аналитически. Метод подбора можно использовать только при устном решении уравнений и задач. А если требуется действительно решить, то нужно использовать методы, предложенные в учебнике. Навык решения методом подбора затрудняет для учащихся выполнение записи решения задачи при любой форме контроля (самостоятельная работа, экзамен и т.д.).
    Материалы к уроку можно использовать при условии их доработки и устранении замечаний.

Отправка ошибки

Текст ошибки:
Комментарий:
Используйте вашу учетную запись Яндекса для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Odnoklassniki.ru для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись Google для входа на сайт.
Используйте вашу учетную запись VKontakte для входа на сайт.
@mail.ru