Урок-практикум "Объем призмы, пирамиды и конуса"

Урок-практикум по геометрии 11 класс

по теме: «Объем призмы, пирамиды и конуса»

(2 часа)

По учебнику Л.С.Атанасян и др.

«Геометрия 10-11» - М.: «Просвещение», 2010г.

Автор учитель математики

высшей категории

МАОУ «МСОШ №20»

Миасского городского округа

Челябинской области

Левина Татьяна Анатольевна

Урок-практикум по геометрии 11 класс

по теме: «Объем призмы, пирамиды и конуса»

(2 часа)

Цели урока: 1. Систематизировать знания, полученные на предыдущих уроках и закрепить умения решать задачи на вычисление объемов.

2. Развить образное мышление и пространственное воображение, показать красоту геометрии и увлечь учащихся геометрическими задачами.

3. Воспитать чувство ответственности, коллективизма, самостоятельность, умение отстаивать свою точку зрения.

План урока: 1. «Разминка».

2. Проверка домашнего задания.

3. Творческое задание «Аукцион».

4. Индивидуальные задания. Работа в группах.

5. Выступления с отчетами.

6. Решение задач по готовым чертежам.

7. Самостоятельная работа.

8. Итоги урока. Домашнее задание.

Ход урока:

- Учитель: Мы начинаем урок – практикум. Тема урока (на доске). Цель нашего урока сегодня: систематизировать знания, полученные на предыдущих уроках и закрепить умения решать задачи на вычисление объемов. Развить образное мышление и пространственное воображение, показать красоту геометрических задач. Воспитать чувство ответственности, коллективизма, самостоятельность, умение отстаивать свою точку зрения. В тетрадях – число, тему урока.

- Но работать мы сегодня будем особо – каждый ряд в классе – это команда, группа единомышленников, сплоченных единой целью, быть сегодня самой лучшей. Активность групп будет оценена. (1 мин)

1. Мы с вами изучили формулы объемов призмы, пирамиды, цилиндра и конуса. Для того чтобы работать дальше вспомним формулы – «Разминка». На доске справа находятся части равенства, а слева – оставшиеся части. Ваша задача восстановить формулу, прочитать её, выбрать соответствующую модель и показать на ней основные элементы.

V_кон V_ус.кон V_приз

V_ус.пир

V_цил

V_пир

(Полученные формулы весь урок находятся на открытой доске!) (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (по готовым чертежам объяснить решение)

(по времени-? Можно перенести на конец урока)

№704

Дано: конус, h_кон=d_осн=H

Найти: V_кон

Решение: V_кон= . По условию R=H/2, h=H.

V_кон= ⅓ π(H/2)²H=πH³/12

Ответ: πH³/12

№708

Дано: усеченный конус, R=6м, r=3м, l=5м.

Найти: V_ус.кон

Решение: V_ус.кон=

Из прямоугольной трапеции ОО₁А₁А: Н=4м.

V_ус.кон= ==84π м³

Ответ: 84π м³ (5 мин)

3. А теперь я предлагаю вам творческое задание «Аукцион»: по готовому чертежу и данным элементам определить какие еще величины можно определить? Активность команд отмечается.

Задача 1:

Дана правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро 5см,

высота пирамиды 4см. Какие величины можно найти в этой пирамиде?

Задача 2:

Дан цилиндр. Диаметр цилиндра равен его высоте = 3см,

Какие величины можно найти в этом цилиндре?

(4 мин)

4. А теперь переходим к основному этапу – работа в группах. 2-3 парты сдвигаем и присаживаемся вокруг. Первые парты освобождаем для индивидуальной работы.

Индивидуальные задания получают 3 ученика («слабых»). Им нужно: 1) решить задачу на нахождение объема, 2) выполнить необходимые измерения вычислить объем полученной модели.

1 карточка: 1) Дан цилиндр. Радиус цилиндра 3см. Его высота 5см.

Найти объем цилиндра. (45π см³)

2) Модель конуса. Выполнить необходимые измерения.

Вычислить объем конуса. ( π см³)

2 карточка: 1) Дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания 3см. Высота пирамиды 5см. Найти объем пирамиды. (15 см³)

2) Модель цилиндра. Выполнить необходимые измерения.

Вычислить объем цилиндра. ( π см³)

3 карточка: 1) Дан конус. Радиус конуса 3см. Его высота 5см.

Найти объем конуса. (15π см³)

2) Модель правильной треугольной призмы.

Выполнить необходимые измерения. Вычислить объем призмы.

( см³)

(После выполнения работы ученики присоединяются к группам!)

Работа в группах (инструкция): Каждая группа получает задачу, которую нужно решить, записать решение в тетради, затем оформить чертеж, условие и краткое решение на доске. После оформления на доске группа готова к отчету. Выступает 1 ученик от группы, объясняет решение своей задачи. Остальные учащиеся записывают решение в тетради, задают вопросы, предлагают свое решение, сомневаются или одобряют решение группы.

Задание №1(сильная группа)

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5см, 5см и 6см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем конуса, вписанного в эту пирамиду.

(Решение: V_кон=⅓πR²H. Высота конуса = высоте пирамиды. Т.к. боковые грани наклонены под углом 60º к плоскости основания, то вершина пирамиды (S) проецируется в центр (O) вписанной в треугольник окружности, значит радиус конуса = радиусу вписанной в треугольник окружности. По формуле: r=S/p S_тр=1/2·6·4=36см², p=8см, r=36/8=1,5см=OH=R_кон. Из треугольника SOH: SH=3см, SO=4,5см=H_кон. Тогда V_кон=⅓· π ·(1,5)² ·4,5=10,125π см³)

Задание №2(средняя группа)

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 12 и 5см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

(Решение: V_пир=⅓S_осн·H. Треугольник АBC в основании прямоугольный, т.к. 13²=12² +5². S_тр=1/2ав=1/2·12·5=30см². Т.к. все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º, то вершина пирамиды (S) проецируется в центр (О) описанной около треугольника окружности. По формуле: R=abc/4S=(13·12·5)/(4·30)=6,5см или треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. R=13/2=6,5см. Из треугольника SAO: R=AO=SO=H_пир=6,5см. Тогда V_пир=⅓·S_осн·H=⅓·30·6,5=65см³)

Задание №3(сильная группа)

В цилиндр вписана призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник. В нем катет равен 6см, а прилежащий угол 60º. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол в 45º. Найдите объем цилиндра.

(Решение: V_цил=πR²·H. Треугольник АBC в основании призмы прямоугольный, то центр описанной окружности(O- центр основания цилиндра) лежит на середине гипотенузы, по условию из треугольника ABC: гипотенуза BC=12см, т.е. R=12/2=6см. Большая боковая грань призмы - эта грань, содержащая гипотенузу прямоугольного треугольника. По условию из треугольника ВВ₁С: ВВ₁=H_пир=ВС=12см. Тогда V_цил=πR²·H=π·6²·12=432π см³)

5. Выступления с отчетами. (Вместе с подготовкой – 32 мин)

6. Решение задач по готовым чертежам.

Задача №1

Дан прямоугольный треугольник с катетами 2см и 5см. Один конус получен вращением этого треугольника вокруг меньшего катета, а другой конус – вращением треугольника вокруг большего катета. Равны ли объемы этих конусов? Если нет, то какой - больше?

(нет; больше тот, у которого радиус больше, т.е. объем 1 конуса)

Задача №2

Прямоугольная трапеция с основаниями 5см и 8см и большей боковой стороной 5см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения.

(тело состоит из цилиндра и вынутого из него конуса,

V_тела =V_цил – V_кон=π4²·8 – ⅓π4²·3=128π – 16π=112π см³)

Задача №3

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 12см и 6см. Апофема боковой грани 5см. Найдите объем усеченной пирамиды.

(S_б.осн=12²=144см², S_м.осн=6²=36см², из прямоугольной трапеции: высота пирамиды H=4см, V_ус.пир= = =·4·(144+36+)=336см³)

Задача №4

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 2см и основанием 2,4см. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

(V_пир=⅓·S_осн·H, S_осн=1/2а·h=1/2·2,4·1,6=1,92см². Из условия

Н_пир=R_{опис.окр}.Из формулы R=abc/4S=(2·2·2,4)/(4·1,92)=

=1,25см= Н_пир. Тогда V_пир=⅓·S_осн·H=⅓·1,92·1,25=0,8см³)

(13 минут)

7. Самостоятельная работа №8. (по времени - ? решить 1-2-3 задачи по выбору)

1 вариант

1) Дана правильная треугольная пирамида. Её боковое ребро равное 10см составляет с плоскостью основания угол φ = 30º. Найдите объём пирамиды.

2) Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4см и 6см. Площадь диагонального сечения равна 15см². Найдите объём усеченной пирамиды.

3) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого 24дм и 18дм. Каждое боковое ребро равно 25дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усеченной пирамиды.

2 вариант

1) Дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания равна 3см, плоский угол при вершине α = 60º. Найдите объём пирамиды.

2) Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4√2см и 6√2см. Площадь диагонального сечения равна 90см². Найдите объём усеченной пирамиды.

3) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого 24дм и 18дм. Каждое боковое ребро равно 25дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усеченной пирамиды.

Возможна проверка ответов: 1 вариант – 1)cм³, 2)см³, 3)1260см³

2 вариант – 1)см³, 2)456см³, 3)1260см³

(25-30 мин)

8. Итоги урока. Домашнее задание.

- Итак, мы сегодня повторили все формулы, решали различные задачи, составляли задачи, восстанавливали формулы, работали в группах, проверили свою готовность к предстоящей контрольной работе.

- Оценки за урок: самая активная группа, индивидуальные задания, фронтальная работа с формулами и задачами по готовым чертежам.

Домашнее задание: Повторить все формулы по теме «Объемы».

Решить из учебника задачи: №691, №706, №747. Готовиться к к/р.

- Я думаю, что для вас это не покажется трудным, т.к. подобные задачи мы сегодня разобрали. (2 мин)

1 карточка: 1) Дан цилиндр. Радиус цилиндра 3см. Его высота 5см.

Найти объем цилиндра.

2) Модель конуса. Выполнить необходимые измерения.

Вычислить объем конуса.

___________________________________________________________________________

2 карточка: 1) Дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания 3см. Высота пирамиды 5см. Найти объем пирамиды.

2) Модель цилиндра. Выполнить необходимые измерения.

Вычислить объем цилиндра.

___________________________________________________________________________

3 карточка: 1) Дан конус. Радиус конуса 3см. Его высота 5см.

Найти объем конуса.

2) Модель правильной треугольной призмы.

Выполнить необходимые измерения. Вычислить объем призмы.

________________________________________________________________________________________

Задание №1

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5см, 5см и 6см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем конуса, вписанного в эту пирамиду.

___________________________________________________________________________

Задание №2

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13см, 12см и 5см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

___________________________________________________________________________

Задание №3

В цилиндр вписана призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник. В нем катет равен 6см, а прилежащий угол 60º. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол в 45º. Найдите объем цилиндра.

___________________________________________________________________________

Задание №1

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5см, 5см и 6см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем конуса, вписанного в эту пирамиду.

___________________________________________________________________________

Задание №2

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13см, 12см и 5см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

___________________________________________________________________________

Задание №3

В цилиндр вписана призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник. В нем катет равен 6см, а прилежащий угол 60º. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол в 45º. Найдите объем цилиндра.