Формулы сокращённого умножения

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по алгебре 7 класса

(Дополнение к учебнику для основной школы авторов

Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин)

«Формулы сокращённого умножения»

автор: Шкромада Елена Алексеевна

учитель математики ГБОУ СОШ №548

г.Санкт-Петербурга

2013

Предисловие

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть, что вызывает у школьников немалые проблемы при заучивании и применении их в алгебраических преобразованиях. Учебное пособие содержит задания для заучивания формул и применения при упрощении выражений, решении уравнений и другие задания на внимание, обдумывание и применение. Для каждой формулы подобраны контрольные задания трёх уровней: простые, среднего уровня и повышенного для подготовленных детей, а также ответы к ним.

Пособие предназначено для семиклассников, учителей-предметников для работы на уроке и родителей, желающих подтянуть или укрепить знания ребят по теме «Формулы сокращённого умножения».

Содержание

Глава 1. Разность квадратов.

1.1.Упражнения для памяти 4

1.2.Задания для закрепления 5

1.3.Контрольные задания 7

Глава 2. Квадрат суммы (разности).

2.1.Упражнения для памяти 8

2.2.Задания для закрепления 9

2.3.Контрольные задания 12

Глава 3. Сумма (разность) кубов.

3.1.Упражнения для памяти 13

3.2.Задания для закрепления 14

3.3.Контрольные задания 16

Глава 4. Куб суммы (разности).

4.1.Упражнения для памяти 17

4.2.Задания для закрепления 17

4.3.Контрольные задания 18

Глава 5. Совместное применение формул сокращённого умножения

5.1. Упражнения обязательного уровня усвоения 19

5.2. Упражнения повышенного уровня 22

Глава 1. Разность квадратов а² – b² = (a – b)(a + b)

1.1.Упражнения для памяти

1.1.1.Заполнить пропуски: отметка о выполнении

верно неверно не приступил

a² - b² = (a…b)(a + b)

a² – b² = (a – b)(a…b)

a²…b² = (a – b)(a + b)

m² - n² = (m + n)(m…n)

k² – 4 = (…-2)(…+2)

x² – 9 =(x -…)(x +…)

25 – 4a² = (…-…)(…+…)

49/100 – b²= (… - b)(… + b)

1/16x² – 4y² = (… -… )(… + … )

(f – 3)(f + 3) = ….- 9

(2a – b )(2a + b) = …. – b²

(x – 3y)(x + 3y) = x² - …

(7 - 2t)(7 + 2t) = 49 - …

(1/2 + h)(1/2 – h) = … - …

(3/5 – ab)(3/5 + ab) = … - a ^…b^…

(10 x – 3y)( 10x + 3y) = … - 9y^…

(x² – a²)(x² + a²) = x^… - a^…

(0,3c³ – 2 b³)(0,3c³ + 2b³) = … - 4…

(4f²b + c)(4f²b – c) = … - c²

9х² – 1/16 y⁶ =(…x - .. .y^…)(…x + .. .y^…)

1.1.2. Найди ошибку Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(5х –b)(5x +b) = 25x - b

9a² – b² = (9a - b)(9a + b)

(1/4 +c)(1/4 – c) = 1/8 – c²

(0,8x² - y)(0,8x² + y) = 0,64 x² – y²

100a² – b⁴ = (10 a² + b²)(10a² – b²)

1.2. Задания для закрепления

1.2.1.Упростите выражение:

а) (a - 2b)(a + 2b) – (a – b)(a +b)

Решение:

Ответ:

б) x² + (0,2 – x)(0,2 + x)

Решение:

Ответ:

1.2.2. Решите уравнение, применив формулу разности квадратов

а) (x – 5)(x + 5) = x² – 5x

Решение:

Ответ:

б) (x-7)² – 9 = x – 4

Решение:

Ответ:

1.2.3. Представить в виде многочлена Ответ

1).(c⁴-d²)(d² +c⁴)
2).(0,2a-b³)(b³ +0,2a)
3).(2x⁵-3y²)(2x⁵ +3y²)
4).(0,6x +0,7y³)(0,7y³-0,6x)
5).(m⁴-n⁷)(n⁷ +m⁴)

6).(1,2c² +3d)(1,2c²-3d)
7).(5x²-0,4y²)(0,4y²+5x²)
8).(8z⁶-5y³)(8z⁶ +5y³)
9).(0,2m² +0,3y⁵)(0,3y⁵-0,2m²)
10).(1,3x²-d)(d +1,3x²)

1.2.4. Применение формул для упрощения расчётов

67² - 57² =

66² - 34² =

73х67 =

105х95=

1.3. Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Разложить на множители:

1) х² – 4 1) х² – 100y² 1) 0,25a² – 0.09b²

2)1/16 a² – 9 2) 4/9 a² - b⁴ 2) x⁶ – y²

Применив формулу разности квадратов, вычислить:

3) 43х57 3) 94х106 3) 86х94

Найти значение выражения, применив формулу разности квадратов:

4) 25² – 24² 4) 4² + 3² 4) 275 – 176

5² + 24 13² - 12² 625 – 256

Решить уравнение:

5) 16х² – х³ = 0 5) 1/25x – 0,04x³ = 0 5) (х – 1)(х + 1) – х(х – 3 ) =

2(x-1)

Ответы к контрольным заданиям:

Глава 2. Квадрат суммы(разности) (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

2.1. Упражнения для памяти

2.1.1. Заполнить пропуски: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(a + b)² = a² …2ab…b²

(a – b)² = a² -…. + b²

(2 + x)² = … + 4x + x²

(3 – x )² = 9 - …. + x²

(2а – 3в²)² = 4а² – 12ав² + …

 9а² – 12а + 4 = (….- 2)²

4у² + 12х²у + 9х⁴ = (2y …. )²

0,04x² – 0,4x +1 = (….. – 1)²

16/100c² +… cb + b² = (…. c + b)²

….a² - …. ab +1/4b² = (1/3a -…. b)²

(15a + …)² = 225a² + 12ac³ + 0, 16c⁶

(3a + 2, 5b)² = 9a² + 6, 25b² + …

(… - 2a)² = … - 12ab + …

(3x + …)² = … +... + 49z²

(… + 2b)² = a² + 4ab + 4b²

(3x - …)² = 9x² - 6ax + a²

(… + 2a)² = 100 + 40a + 4a²

(… + 9c)² = 36a⁴ + 108a²c + 81c²

1/9a⁶ -… a³b²+1/4b⁴ = (1/3… - 1/2b^…)²

2.1.2. Найди ошибку: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(2а – 3в²)² = 4а² – 6ав² + 9в⁴

(2а – 3)² = 4a² + 12a – 9

(х + 3у)² = х² + 9у² - 6ху

a² – 9aca + 6c² = (a – 3c)²

m⁴+6m²+36 = ( m² + 6)²

2.2. Задания для закрепления

2.2.1.Упростите выражение, используя формулы квадрата суммы (разности) чисел:

а) (4х + 1)² – (4х – 1)² 

Решение:

Ответ:

б)Упростите выражение, используя формулу квадрата разности:

Решение: (4х + 1)² – (4х – 1)² = ( ( )-( ))(( )+( ))=

( )( )=

Ответ:

в)Докажите, что значение выражения не зависит от m

(m + 5)² – (m + 3)(m + 7)

Решение:

2.2.2. Решите уравнение:

a) 25x² + 20x + 4 = 0

Решение:

Ответ:

б) 4a² - 2a+1 =0

Решение:

Ответ:

в) (x – 1)(x + 1) – (x - 2)² =0

Решение:

Ответ:

2.2.3. Представить в виде многочлена: Ответ

а) (2a – b)²

б) (0,1x + 2y)²

в) (1/3c + k)²

г) (a² – 0,5b)²

д) (0,3x³ + 0,5y²)²

е) (7a⁴ – 0,2b³)²

ж)(0,1x-0,9)(0,1x+0,9) – (0,1x – 0,9)²

2.2.4.Вычислите, используя формулы сокращенного умножения :

Пример : 31²=(30 + 1)² = 30² + 2x30x1 + 1² = 900 + 60 + 1 = 961

52² =

99² =

320² =

73х67 – 51²=

(67² – 57²) – 26² =

2.3. Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Разложить на множители

1) a² +2a+1 y2 +10y+25 4x²-12xy+9y²

2) 4y² +20y+25 9/16 – 12a² +64a⁴ 1/9a⁶ +1/3a³b² +1/4b⁴

Применив формулы сокращённого умножения, вычислить

3) 51² 71х69 – 61² (49² – 39²) - 24²

Решите уравнение:

4) ¼ +x² – x = 0 4x² -12x +9=0 (4а – 1)² – 4(2а – 1) = 16a²

Упростить выражение:

5) (x+5)² _ x² +10x (x-1)² _ (x-2)² 9p² + 4 + 6p

5 5 2 2 4 – 9p²

Ответы к контрольным заданиям:

Глава 3. Сумма (разность) кубов a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

3.1. Упражнения для памяти: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

3.1.1.Заполни пропуски:

x³ + y³ = (x + y)(…. xy …..)

x³ – y³ = (………)(x² + xy + y²)

…-…..= (x – 4)(x² + 4x + 16)

1 + 8a³ =(1 + 2a)(1…2a….4a²)

…- 27x³= (….- …..)(1 + 3x + 9x²)

(1/2 + ab)(1/4 – 1/2 ab + a²b²) =…. + ….

(a² – b²)(a^…. + a²b² + b^….) = …..-……

(4у – 1)(16у² + …. + 1) = ………1

(5х + 4) (25х² – 20х + …. )= 125x³ +….

b² +20b+… = (…. + ... )²  
216m² - ….= (…..- 8m)( …..+ 8m)
(….. + 3x)² =49y² +…. + …..
(3a +… )(3a - ….) = …… - 81
(5x - ….)² = …. - …. + 16

64x³ - ….= (…. – y²)(… +4xy² + … )

(3/4 + ab)(… - 3/4ab +… ) =… + ….

3.1.2.Найди ошибку: Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

(4у -3х)(4у+3х)=8у² - 9у²  
100х² - 4у²=(50х-2у)(50х+2у)

(3х+у)²=9х² - 6ху + у²          

(6a-9c)²=36a² -54ac +81c²   

х³+8=(х+2)(х² - 4х+4)  

   3.2. Задания для закрепления

3.2.1. Найти значение выражения

а) (2a + 3b)( 4a² – 6ab + 9b²), при a = 2; b = 1.

Решение:

Ответ:

б) (x + 3)(x² – 3x + 9), при x= ½

Решение :

Ответ:

3.2.2. Решите уравнение:

а) x⁴ – x = x² +x + 1

Решение:

Ответ:

б) x³ + 2x² – 9x – 18 = 0

Решение:

Ответ:

3.2.3. Преобразуйте в многочлен Ответ

а) (x + 6)( x² – 6x + 36) – 2(x – 3)(x + 3)

б) (a – 4)( a + 1) + (a² – a + 1)(a + 1)

в) -2(x-1)x – (x + 7)(x² -7x + 49)

г) -2(x+ 2)² – (x +5)(x² – 5x + 25)

д) (с – 7)(с² +7с + 49) – (с - 3)с

е) 2v(v +5) – (v – 1)(v² +v + 1)

ж) y(y + 1) – (y + 2)(y² – 2y + 4)

3.2.4.Вычислите, используя формулы сокращенного умножения :=

=

=

999² =

3.3 Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

1)Преобразуйте в многочлен

(x + 2)(x² – 2x + 4) (a – 1)(a +1) - (a -1)(a² +a+1) (b +4)(b² -4b+16) - (b²-3)b

2) Вычислите:

3) Решите уравнение:

x³ – 1= x(x² +1) - x⁴ - x =x³ - x² +x x³ + 6x² – x – 6 =0

Ответы к контрольным заданиям:

Глава 4. Куб суммы (разности) (a + b)³ =a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³ = a³- 3a²b + 3ab² - b³

4.1.Упражнения для памяти Отметка о выполнении

верно неверно не приступил

4.1.1. Заполнить пропуски:

(a +b)³=a³ + … + …..+b³

(a – b)³= a³ …3a²b+3ab²… b³

(2 + x)³ = …+12x+6x² + ….

(c – 3)³ = c³ – 9c² + ….. – 27

(1/2 + y)³ = 1/8 + …. + 1,5y² + y³

125 + ……+ 15a² +…….= (5 +a)³

(2a - …. )³ = 8 a³ - 12 a²b + 6a b² - b³

(3b + 2a)³ = 27 b³ + …. +…. + 8 a³

4.1.2. Найди ошибку:

(3х+1)³= 27х³ + 9х + 9х +1

(5a – 2)³ = 125a² – 150a² + 60a - 8

(y – 1/3)³= y³ + y² – 1/3y + 1/27

4.2.Задания для закрепления

4.2.1. Показать, что выражение (а – 2)³ – (а (3 + (а – 3)²) – 10) при всех значения а, равно 2.

Решение:

Ответ:

4.2.2.Реши уравнение: ((х + 6)³ – х(х + 9)²) : 27 = 1

Решение:

Ответ:

4.2.3.Вычислить:

0,4³ + 3*0,4*0,1 + 0,03*0,4 +0,001=?

Решение:

Ответ:

4.3.Контрольные задания

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

1)Преобразуйте в многочлен

(2 +c)³ (x – y²)³ (1/2x²y – xy²)³

2) Возвести в куб выражение:

(a +b+c)³ (a+b+c+d)³ (a + b)⁵

Ответы к контрольным заданиям:

Вариант 1.1) 8 + 12с +6с² + с³; 2) a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3ac²+3bc²+3a²c+3b²c+6abc;

Вариант 2.1)x³- 3x²y²+3xy⁴-y⁶; 2)a³+b³+c³+d³+3a²(b+c+d)+3b²(a+c+d)+3c²(d+a+b)+3d²(a+b+c)+6(abc+abd+acd+bcd);

Вариант 3.1) 1/8x⁶y³ – 0,75x⁵y⁴+1,5x⁴y⁵- x³y⁶; 2)10a²b³+5ab⁴+b⁵.

Глава 5. Совместное применение формул сокращённого умножения

5.1. Упражнения среднего уровня

5.1.1.Упростите выражение и выберите верный ответ:

(x +6y)² – (6y + 5x)(6y – 5x) + x(12y – 6x)

Решение:

5.1.2. Проведите соответствия, соединив стрелками

А) (a - b)2 Б) (3x - 4)2 В) (-c2+3x4)2 Г) (m2 - 3n)2 Д) (a +2b)2 Е) (2c +5)2 Ж) (10x-3)(10x+3) З) (6n-p)(p+6n)

1)m4-6m2n+9n2 2)100x2-9 3) 9x2-24x+16 4) 36n2-p2 5) 9x8-6x4c2+c4 6) a2+4ab+4b2 7) 4c2+20c+25 8) a2-2ab+b2

5.1.3.Вычислите значение выражения:

(y+5)(y² – 5y + 25) – y(y² + 4), при y = - 25

Решение:

Ответ:

5.1.4. Сравнить: 37²  и 36 · 38

36 · 38 =(37-1) · (37+1)= 37² – 1²

Значит, 37² > 36 · 38.

Задание.

Сравнить: 74² и 73х75

Решение:

Ответ:

5.1.5. Представьте в виде многочлена:

а) ( x + 7)²;

б) (-4n³ + n)(n + 4n³)

5.1.6. Разложите на множители:

а) y⁵ – 25y³

б) 16x + 8x² + x³

5.1.7.Упростите выражение:

а) (x +7)² – 10x

б) (3a +p)(3a- p) + p²

5.1.8.Решите уравнение:

а) (x² -1)(x² +3) = (x² +1)² +x

Решение:

Ответ:

б)12-(4-х)² = х(3-х)

Решение:

Ответ:
в) 36-х² = 0

Решение:

Ответ:

г) (2х+3)²-4(х-1)(х+1)=49

Решение:

Ответ:
д) (x-4)(x+4)+(3x-4)(x+2)=(2x+3)2

Решение:

Ответ:

5.2. Упражнения повышенного уровня

5.2.1. Поставить в соответствие, соединив стрелками

А)(a + b)2 Б)(a - b)2 В) a2 - b2 Г) (a + b)3 Д) (a - b)3 Е) a3+ b3 Ж) a3- b3

1) (-в-а)(в-а) 2) a3+3a2b+3ab2+b3 3) a3-3a2b+3ab2-b3 4) (a+b)·(a2-ab+b2) 5) (a-b)·(a+b) 6) a2-2ab+b2 7) (b-a)2 8) (a-b)·(a2+ab+b2) 9) (-b+a)2 10) a2+2ab+b2 11) (b+a)2 12) (-a-b)2

5.2.2.Представьте в виде многочлена:

а)(-7x-1)²;

б) (-6a² – 2b⁴)(6a² – 2b⁴).

5.2.3.Разложите на множители:

а)a³ – 2a² +18 – 9a;

б)x⁵y² + 27x²y⁵.

5.2.4. Упростите выражение:

а)2x(1 +x) – (x – 2)(x + 2);

б) 4c (c - 2) – ( c – 4)².

5.2.5.Решите уравнение:

x³ + 3x² – x – 3 = 0

Решение:

Ответ:

5.2.6. Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение: 24xy = 12xy + 12 xy = 2x·6y + 2x·6y = (x +6y)² – (x – 6y)²

или 24xy = 2•6x•y + 2•6x•y = (6x + y)² – (6x – y)²

или 24xy = 2•xy•6 + 2•xy•6 = (xy + 6)² – (xy – 6)²

Задание: Представить выражение 28аb в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение:

5.2.7.Представьте выражение 2а(а² + 3b²) в виде суммы кубов двух многочленов.

Решение: 2а(а² + 3b²) = 2a³ + 6ab² = a³ + 3ab² + a³ + 3ab² = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a + b)³ + (a - b)³;

Задание: Представьте выражение 2b(3a² + b²) в виде разности кубов двух многочленов.

Решение:

5.2.8. Докажите, что выражение (5m-2)(5m+2)-(5m-4)² - 40m не зависит от значения переменной.

Решение :(5m-2)(5m+2)-(5m-4)²-40m=25m-24-(25m²+16-40m)-40m=25m²-4-25m²-16+40m-40m=-20

Задание: Докажите, что выражение (2x – 3)(2x +3) – (2x – 9)² – 36x не зависит от значения переменной x.

Решение: