Итоговый урок по теме "Уравнение касательной"

Ковалева Елена Ивановна

Учитель 1 категории

МБОУ СОШ№5 г.Рославль, Смоленская область

Учебник Алгебра и начала анализа. 10кл. В 2 ч. (профильный уровень)  Мордкович А.Г., Семенов П.В.

ПЛАН-КОНСПЕК УРОКА
Итоговый урок по теме «Уравнение касательной»

10 класс

Цель урока:

• систематизировать и обобщить сведения, полученные учащимися на предыдущем уроке;

• расширить представления учащихся о теме;

• дополнить и обобщить представления учащихся о применении данной темы в жизни;

• познакомить с историей данного вопроса.

9. Задачи:

1. - обучающие: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.

2. -развивающие развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.

3. -воспитательные воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Тип урока урок закрепления изучаемого материала и выработки практических умений и навыков

Формы работы учащихся самостоятельная, индивидуальная, фронтальная работа.

Необходимое техническое оборудование компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.

I. Организационный момент (0.5 мин.).

II. Постановка целей урока. Мотивация учащихся ( 2 мин). (слайд 1)

III. Обобщение знаний учащихся по теме «Производная. Уравнение касательной»(15 мин)(слайд 2)

Учитель приветствует учащихся и объявляет цель урока и план, используя презентационное сопровождение. Зачитывается эпиграф к уроку.

Учитель. Сегодня на уроке мы обобщим и закрепим идею геометрического смысла производной, сформируем начальное представление о приложениях производной в математике и истории их развития, «откроем» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями производной; эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста Дени Дидро (1713 – 1784) – современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой.

«Начинать исследования можно по-разному... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки» (Дени Дидро)

Сегодня мы закрепим материал на тему «Уравнение касательной» решением ключевых или опорных задач, проверим усвоение техники нахождения производной и исследуем связь уравнения касательной с исследованием свойств графика функции , что в дальнейшем нам даст аппарат для построения практически графика любой функции и нахождения ее свойств. Приведет к решению задач на оптимизацию, те нахождения наибольшего и наименьшего значения некоторого конкретного тела, …

Итак, для проверки техники вычисления производной приглашаются учащиеся к компьютерам ( тесты на два варианта)

На местах ребята обсуждают предложенные незавершенные предложения ( слайды 3-4)

1.В чем состоит геометрический смысл производной?

2.В любой ли точке можно построить касательную?

3.Какая функция называется дифференцируемой в точке?

4.Касательная наклонена к под тупым углом к положительному направлению оси Ох ….

5.Кастельная наклонена под острым углом к оси ох…

6.Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси Ох…

7.Касательная параллельна оси Ох, следовательно…

8. Что называется секущей для графика функции y=f(x)?

9. Какая прямая называется касательной к графику функции?

10. Какая из отмеченных точек является точкой касания?

11. Записать уравнение касательной к графику функции в заданной точке в общем виде. 12. Чему равен угол наклона касательной к графику функции в заданной точке? 6. Как найти угловой коэффициент касательной?

13. Известно, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х_о, равен 0,6. Чему равно значение производной в этой точке?

14. Касательная к графику функции f(x) в точке с абсциссой х_о образует с положительным направлением оси ох угол 45^о. Найти f^/(x_o).

Затем обсуждаем решение ключевых задач. (слайд 5)

• Задание из предложенных ключевых задач составить свою задачу.

• после обсуждения, решенных у доски задач , учащимся предлагается составить алгоритм решения из ключевых задач.

Учитель. Математический анализ, ядро которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления, - самая тонкая область всей математики. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением, а раздел математики, в котором изучается операция интегрирования функции, то есть восстановления функции по её производной, называется интегральным исчислением.

Немного истории ( небольшое сообщение ученицы) (слайды 6-10)

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия.

Большой вклад в развитие дифференциального исчисления внесли:

Архимед, который задолго до этого решил задачу на построение касательной к спирали, сумел найти максимум функции f(x) = х² (а - х),

Пьер Ферма (1601 -1665), математическое определение производной, которого было принято всеми математиками, успешно применявшими в своём методе нахождения экстремумов многочленов задачи о построениях касательных к кривым,

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 -1716), который установил геометрический смысл производной, как тангенс угла наклона касательной. «Штрихи к портрету» Готфрида Лейбница : в своей работе «Новый метод максимумов и минимумов», используя геометрическое истолкование, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба. Его знаменитая фраза: "Без настоящих единиц не может быть и множества". С ним связаны имена выдающихся личностей, термины и понятия: Эпоха Просвещения, Петр I, Россия, Ньютон, рококо, арифмометр, кратер на Луне, подводная лодка, «Философский век». Подумайте над этим дома.

V I. Решение задач с практическим содержанием ( слайд 11)

Учитель . Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так отозвался о нем: «Он очень мало знает, но у него положительная производная». Все поняли, что хотел сказать учитель: скорость приращения знаний у ученика положительна, а это есть залог того, что его знания возрастут. Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать три кривые роста знаний.

Ответ:I -ого знания не растут т.к. производная в каждой точке прямой равна нулю, знания II-го растут быстрее, чем III-го т.к. угол наклона касательных будет больше, а следовательно и больше производная, потому что тангенс функция возрастающая. (слайд 10-анимированный , в музыкальном сопровождении)

У вас на столах график некоторой функции, проведите в указанных точках схематично касательные и охарактеризуйте данную функцию у учетом изученного в 10 и 9-ом классах.

А теперь послушайте музыку, которая сейчас помогала исследованию В чем связь? ( слайд12) Почему именно музыку и график функции мы сегодня связываем?

Не всякую музыку можно слушать легко, для восприятия необходимо произвести усилия, вслушаться , представить действие , проникнуться настроением, поймать мысль композитора.

«Здесь мало увидеть,
Здесь нужно всмотреться,

Здесь мало услышать,
Здесь вслушаться нужно,» Н.Рыленков "Все в тающей дымке"

А может быть и с графиком , его надо не только увидеть, но в него надо всмотреться, почувствовать всю гармонию мелодии графика.

Такую мелодию нам предложит Семченкова Настя( на гитаре попыталась проиграть мелодию, повторяющую предложенный график).

А теперь попробуйте сами. Звучит вальс из балета «Лебединое озеро»

П.И.Чайковского.

Учитель. Ребята, а зачем нужно изучать данную тему.

Выберем ответы из левого столбца:

Нужна ли производная для будущей профессии?

Российский математик 19века Панфутий Львович Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

• Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

• Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

• Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Вам предложены задачи из жизни, необходимо применить для решения свойства касательной.

1.Профиль моста имеет форму параболы с высотой центральной части 10 м и длиной основания 120м. Какой должен быть наклон насыпи на концах моста? (слайд13-анимированный –этапы рассуждений)

2.Вертикальный разрез теплицы имеет форму пятиугольника ABCDE, в котором FT=8м, AB=DE=1м. Из точки Р, расположенной на высоте 2м, подается горизонтально вытекающая струя воды, которая при максимальном напоре достигает точки Е(илиА). Какую высоту h нужно придать центральной части теплицы , если желательно, чтобы струя воды( она имеет форму параболы с вершиной в точке Р) не достигла крыши теплицы?

Во многих приложениях встречается понятие касания кривых между собой. Кривые называются касающимися ,если они имеют в этой точке общую касательную.

3.Каково необходимое и достаточное условие двух функций у =f(x) и y=g(x) касаются друг друга в точке х₀

4.Покажите, что кривые у=4х²+2х-8 и у=-х³-х+10 касаются в точке А(3;34). Будут ли они касаться в точке В(2;-4)

5. При каких соотношениях парабола ах²+вх+с-0 касается оси Ох?

6. Найдите те значения х, при которых касательные в соответствующих точках параллельны между собой. При каком значении а кривые будут касаться друг друга?

Вам было предложено дома решить не менее творческую задачу: составления алгоритма решения нестандартной задачи , по теме «Уравнение касательной»

Обсуждаем данные алгоритмы.

Как вы уже заметили, что в данных алгоритмах повторяющиеся блоки, перечислите их: составление уравнения касательной в точке; нахождения точки касания по углу наклона касательной к положительному направлению оси Ох, по известному угловому коэффициенту, который может быть известен по условию параллельности прямых ,описанию условия нахождения точек касания

А теперь перейдем к выполнению практической работы , при выполнении которой вы должны применить все на практике.(Приложение1)

V. Постановка дифференцированного домашнего задания

Учитель раздает карточки с вариантами заданий (4 варианта) , которые содержат обязательную и необязательную части домашнего задания, делает соответствующие пояснения о том, что результаты будут необходимы на следующем уроке.

VI. Итог урока.

Учитель предлагает обобщить учащимся свои исследования, демонстрирует на слайдах результаты подведения итогов и дальнейший план изучения темы. На экране непрерывно идут титрами новые математические понятия: необходимое условие, достаточное условие, необходимое и достаточное условие.

Учащиеся высказывают свое мнение, подводят общий итог исследованию

Список используемой литературы

1. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений
   /А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова-
   10-е изд.- М..: Просвещение,2000. – стр. 160-166

3. Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. материалы
   /Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, Ю.А.Глазков и.др.; М-во образования Рос.
   Федерации.- М.: Просвещение, 2003.

4. Производная и её применение: Дидакт. матер, по курсу алгебры и начал анализа
   для 10-11 кл.ср.шк./Под ред. М.И.Башмакова - СПб, Свет, 1995.

5. Клайн М. Математика. Утрата определённости: Пер. с англ./ Под ред. С предисл. И
   примеч. И.М.Яглома.- М.: Мир, 1984.

6. Степанова М.В. Учебно-исследовательская деятельность школьников в профильном обучении: учебно-методическое пособие для учителя/ Под ред. А.П.Тряпининой. – СПб.: КАРО, 2005.

7. Маркова В. Что такое исследовательская деятельность школьников / Математика (приложение к 1 сентября), №12, 2007.

Интернет – источники

Музыка «Балет "Лебединое озеро" - Вальс A-dur, акт 1» - (Пётр Ильич Чайковский)http://www.rusmusic.su/instrumental.php

Дени Дидро

http://books.atheism.ru/gallery/Diderot/

Екатерина Великая

http://mail.spb.fio.ru/archive/group15/c3wu3/pagehistory1.htm

Лейбниц

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%2C_%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D0%B8%D0%B4_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Архимед

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%B4

Лагранж

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%2C_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8

Ферма

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%2C_%D0%9F%D1%8C%D0%B5%D1%80

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Приложения к плану-конспекту урока

Итоговый урок по теме «Уравнение касательной»

Приложение 1

Геометрическое приложение производной

1.Профиль моста имеет форму параболы с высотой центральной части 10 м и длиной основания 120м. Какой должен быть наклон насыпи на концах моста?

2.Вертикальный разрез теплицы имеет форму пятиугольника ABCDE, в котором FT=8м, AB=DE=1м. Из точки Р , расположенной на высоте 2м, подается горизонтально вытекающая струя воды, которая при максимальном напоре достигает точки Е (или А ). Какую высоту h нужно придать центральной части теплицы, если желательно, чтобы струя воды ( она имеет форму параболы с вершиной в точке Р) не достигла крыши теплицы?

C

Р

В D

А Е

• Во многих приложениях встречается понятие касания кривых между собой. Кривые называются касающимися , если они имеют в этой точке общую касательную.

3.Каково необходимое и достаточное условие двух функций у =f(x) и y=g(x) касаются друг друга в точке х₀

4.Покажите, что кривые у=4х²+2х-8 и у=-х³-х+10 касаются в точке А (3;34). Будут ли они касаться в точке В (2;-4)

5. При каких соотношениях парабола ах²+вх+с-0 касается оси О х?

Приложение 2

Приложение 3